局部上同调模及其相关课题的研究

Local Cohomology Theory is one of important contents in Commutative Algebra. The following properties of Local Cohomology modules, such as finiteness, vanishing, Artinianness, are extensively studied by many commutative algebraists. As applications of these properties, we can characterize some properties of rings or modules, such as Cohen-Macaulayness and gorensteiness, and also characterize some important invariants of rings or modules, such as depth, Castelnuovo-Mumford regularity, and so on. On the other hand, there are several generalizations of usual local cohomology: Local Cohomology modules defined by two modules (we call them general local cohomology modules), Local Cohomology modules defined by a pair of ideals. Now we have seen the application value of these modules in some related papers. So it is important to study the properties and structure of Local Comology and its generalizations. In this project, we will continue to study their properties and structure, and apply some related results to Combinatorial Commutative Algebra.

局部上同调理论是交换代数中的重要内容。局部上同调模的有限性、消失性（vanishing）、阿丁性（Artinian）等有关结果可以用来刻画环或者模的一些特殊性质，如Cohen-Macaulay性、Gorenstein性等， 也可以用来刻画模的一些重要不变量，如深度（depth）、正则度（Castelnuovo-Mumford regularity）等。另一方面，这里有几个通常的局部上同调模的衍生物：由两个模定义的局部上同调模（一般称为广义局部上同调模）、 由一对理想所定义的局部上同调模。 目前已经可以看到，这些衍生物具有一定的应用价值。所以研究局部上同调以及它的衍生物的性质、结构具有重要意义。在本项目中，我们会研究它们的性质、结构，同时将有关结果应用到组合交换代数或通过计算局部上同调来研究某些单复形。

局部上同调理论是交换代数的重要内容.在本项目中，我们主要研究了局部上同调模的有限性、阿丁性（Artinian）等性质，用局部上同调去刻画了几乎Cohen-Macaulay模，以及研究了Borel type理想的正则度. 特别地，我们主要正式发表了下面4个方面的结果：.1.我们 给出了在某些条件下局部上同调模的相伴素理想的个数是有限的，利用这个结果研究了EXT-模相伴素理想的有限性, 这一个结果实际上很好地改进了刊登在Manuscripta Math.和Comm. Algebra上的两篇论文的主要结果, 后来发现这实际上也给出了Melkersson和Schenzel在Proceeding Of A.M.S.论文中提出的问题的部分答案..2. 我们对第一个非零局部上同调模的相伴素理想给出了描述，利用此刻画了几乎Cohen-Macaulay模，并给出了一类几乎Cohen-Macaulay模，进一步丰富了对几乎Cohen-Macaulay模的研究（康明昌教授的工作)..3. 我们对Borel type理想的偏正则度和a-不变量（用局部上同调定义的不变量）进行了组合上的描述, 即对这类特殊的理想用它自身的组合信息给出代数不变量的刻画..4. 我们对两个模的广义局部上同调模的阿丁性进行了研究，推广了Mafi与Saremi发表在Canad.Math.Bull.上论文的结果..另外， 我们对Castelnuovo-Mumford正则度的一些公开问题进行了初步的思考, 这些结果尚未正式发表.