四边形/六面体有限元方法与自适应技术和在固体问题中的应用

Quadrilateral and hexahedral finite elements are widely used in the field of engineering computations. The adaptive finite element method, one of the most efficient numerical method, is a research hot spot in numerical solutions of partial differential equations currently. Therefore, it is very necessary to study adaptive quadrilateral and hexahedral finite element methods and techniques, which has great practical significance. How to locally refine and coarsen meshes fast and efficiently is a key and bottelneck in the adaptive quadrilateral and hexahedral finite elements computations. This project will study quadrilateral and hexahedral meshes' local refinement and coasening techniques. Based on it, we will develop corresponding adaptive finite element algorithms and codes for some well-known partial differential equations. This project will also study the material point method, which is well used in solid mechanic problems with large deformations. We will combine it with the adaptive techniques based on quadrilateral and hexahedral meshes, and develop corresponding adaptive algorithms and codes. That will be very useful and instructive to explore highly accurate and highly efficienct numerical algorithms for solid problems with large deformations, and the quadrilateral/hexahedral mesh-based adaptive computation software platform.

四边形和六面体有限元在工程中应用广泛。自适应有限元方法作为求解偏微分方程最有效的数值方法之一，是当前科学工程计算研究的热点。因此，很有必要研究相应的自适应四边形和六面体有限元方法和技术，这将具有重大的实际意义。如何快速有效的局部加密和放粗网格是自适应四边形和六面体自适应有限元计算的瓶颈和关键。本课题将研究四边形和六面体局部加密放粗技术，并针对一些常见模型发展基于上述局部加密放粗技术的自适应有限元算法和程序。本课题还将研究物质点方法，该方法在固体力学大变形问题中使用很多。我们将把物质点方法与基于四边形和六面体网格的自适应技术结合起来，发展相应的自适应算法和程序。这些对于探索固体大变形问题的高精度高效数值算法，以及四边形和六面体自适应计算软件平台，都具有重要的指导意义。

四边形和六面体有限元在工程中应用广泛。自适应有限元方法作为求解偏微分方程最有效的数值方法之一，是当前数值计算研究的热点。因此，很有必要研究相应的自适应四边形和六面体有限元方法和技术，这将具有重大的实际意义。传统的四边形和六面体自适应有限元方法只局限于带悬点的网格，需要对自由度施加额外的约束，这极大的阻碍了四边形和六面体自适应有限元方法的发展。本课题将从两个方向解决这个瓶颈问题。首先，我们借助非协调有限元的思想，在四边形和六面体带悬点网格上构造自由度之间无任何约束的有限元方法，并首次建立严格的残量型后验误差估计和自适应算法，同时发展相应的自适应有限元程序并对二阶椭圆问题和线弹性力学模型进行计算。其次，我们首次提出四边形和六面体网格上无悬点的局部加密算法，进而建立相应的自适应有限元算法和程序，并对二阶椭圆问题和线弹性力学模型进行计算。数值计算表明上述两类自适应有限元方法都是最优收敛的。此外，我们还发展了固体力学中的应变梯度弹性模型的高效非协调有限元方法。