自适应人工边界方法及其在非线性问题中的应用

Numerical method of nonlinear partial differential equations has been very popular in science and engineering computation. It is a difficult and challenging task. The traditional artificial boundary method which based on the coupling of finite element method (FEM) and boundary element method (BEM) will be inefficient if we use the method for general nonlinear partial differential equation, not only on the construction of nonlinear artificial boundary conditions but also on the numerical methods of the nonlinear problems in bounded domain. Our research group mainly focus on the adaptive artificial boundary element methods study of nonlinear problems, which based on the coupling of adaptive finite element method and boundary element method. Our research topics are given in the following: 1.Developing the adaptive finite element method of nonlinear degenerate convex minimization problem; 2.Constructing the nonlinear artificial boundary conditions, and studying the adaptive method and superconvergence phenomenon of the supersingular integral; 3.Developing adaptive artificial boundary method based on adaptive finite element method and boundary element method for nonlinear transmission problem; 4.The adaptive artificial boundary method will be used to numerically simulate a class of electromagnetic field problem. This research will generalize the boundary element method and artificial boundary method. This proposal will not only provide benchmark references to the numerical method of nonlinear problems, but also enrich the contents of elasticity mechanics, electromagnetic mechanics, and the computation methods of supersingular integral.

无界区域上非线性偏微分方程的数值求解是一个既有广泛的工程应用背景，又具有挑战性的困难课题。传统的人工边界方法求解此类问题，不论非线性人工边界条件的构造还是有限元边界元耦合法数值求解非线性问题，都面临很多困难。本项目将结合自适应算法处理非线性问题和含奇性问题的优势，发展基于自适应有限元和边界元耦合法的自适应人工边界方法，并将其应用到典型的非线性外问题的数值求解中。具体研究内容如下：1. 发展非线性弹性问题的自适应有限元方法；2. 构造非线性传输问题的精确非线性人工边界条件，研究超奇异积分的自适应算法及其超收敛性；3. 研究非线性传输问题的自适应人工边界法；4. 将自适应人工边界方法用于计算简单电磁场问题。本项目将推广边界元方法和人工边界方法，研究成果不仅为一般非线性外问题的数值求解提供理论基础和参考, 而且将丰富弹性力学、电磁学、超奇异积分数值计算。

非线性偏微分方程的数值求解是一个既有广泛的工程应用背景，又具有挑战性的困难课题。本项目结合了自适应算法处理非线性问题和含奇性问题的优势，主要研究了如下内容：1.非线性弹性问题的自适应有限元方法。我们分别考虑了协调有限元和非协调有限元方法，并提出了离散混合有限元方法，三种方法均给出了有效的先验和后验误差估计，以及相应的数值试验。2. 非线性P-Laplace问题的自适应有限元方法。在新的拟范数意义下，我们得到求解该问题的新的理论框架，理论分析和数值实验结果一致。3. 边界归化中不可避免的超奇异积分的自适应算法。我们发展了超奇异积分的自适应求积公式，减小了计算成本。4. 弹性发展问题的dG方法。 我们从变分不等式的角度出发，证明了离散形式和离散对偶形式的等价性，给出了弹性发展方程全离散的误差估计，最后通过数值实验验证理论分析结果。5. 自适应人工边界法及其在非线性问题中的应用。以上研究内容均由有相关文章发表和完成。研究成果不仅为一般非线性问题的数值求解提供理论基础和参考, 而且将丰富弹性力学、流体力学、超奇异积分数值计算，在推广自适应有限元方法，自适应边界元方法方面有着重要的促进作用。