解析函数空间的实变理论中的多分辨方法及其应用研究

In this project, by the multiresolution method，regular wavelets and the tools in harmonic analysis, e.g. the Carleson meausre and so on, we will study the analytic function spaces which have the general Lp norms or are non-Mobious-invariant on the unit dics and the upper-half plane. We will establish the boundary value characterizations and the corresponding real-variable theory on high-dimensional spaces. The study of the boundary value problem of analytic function spaces not only expands our understanding of the structure of function spaces, but also can be used in the research of partial differential equations. For the above analytic spaces, the traditional Fourier method is invalid. Hence there exist a major difficult in the boundary value problem. Alternatively, the multiresolution method is self-adaptive， then we can avoid the disadvantage of the above Fourier method and deal with the boundary value problems of above two classes of analytic function spaces uniformly. As applications, we will apply the boundary value characterization to the research on partial differential equation, especially on the well-posedness of the fluid equations.

本申请项目主要是利用多分辨技术、正则小波和 Carleson 测度等调和分析工具，研究单位圆盘及上半平面上的具有一般 Lp 范数的解析函数空间和非 Mobious 不变的解析函数空间，给出这两类函数空间的边值函数的实变刻画，进而得到相应的高维欧式空间上的实变理论。 解析函数空间边值问题的研究，不仅有助于加深我们对函数空间结构的理解，而且在偏微分方程的研究中有着重要的应用。对于上述两类解析函数空间的边值问题，传统的 Fourier变换的方法存在本质的困难。本项目采用的多分辨分析方法具有良好的自适应性质，因此可以有效地规避传统方法存在的困难，从而能够统一地处理上述两大类具有一般 Lp 范数或非 Mobious 不变的函数空间的边值问题。进而，我们将所得的结果应用于偏微分方程，特别是流体方程适定性问题的研究。

在调和分析、偏微分方程以及位势理论的研究中， 可微函数空间起到了重要的作用， 长期以来， 是调和分析研究的热点问题之一。本研究项目聚焦于自2000年代以来出现的Q型空间的研究， Q型空间起源于传统的单复变量分析，后来逐渐发展到实变的形式。由于该类函数空间涵盖了许多经典的可微函数空间， 因此自诞生以来， 得到了极大的关注，在该课题上也产生了许多很好的研究进展。然而，到目前为止， 仍然存在一系列重要的问题有待解决， 其中之一便是传统的Q型空间是L^2范数意义下的， 因此在研究该类空间的实变刻画时， 可以利用Fourier变换的Plancherel公式。 但是这一方法对于L^p意义下的Q型空间不起作用。 本研究项目正是着眼于这一技术难题， 采用多分辨的技术手段来处理一般意义下的Q型空间的实变刻画。主要思想在于，对于Q型空间中的函数，使用高正则性小波分解该函数的Poisson积分， 进而利用小波的高正则性得到对分解项的衰减估计, 从而建立调和延拓结果。 这一方法克服了在L^p范数意义下Plancherel公式失效这一难题。 以此为基础， 得到了具有L^p范数的与权函数相关的Q型空间的Carleson测度刻画， 调和延拓结果，作为一个有意义的应用， 证明了卷积奇异积分算子在该类Q型空间上的有界性问题。尽管研究是以高维欧式空间上的函数空间作为研究对象， 但是相关理论对于一维的特殊情形也是适用的， 从而可以得到该类Q型空间的解析延拓问题。此外由于Carleson测度和奇异积分算子有界性在偏微分方程中的重要作用，本项目的研究成果也为该类Q型空间应用到偏微分方程的研究提供了许多十分有效的工具和技术手段。