对称张量的秩-r分解算法研究

As a natural and essential expression of multidimensional structure, tensor is widely concerned. The problem on high-dimensional data represented by low-dimension and signal blind source separation can be solved by tensor decomposition. Therefore, the study on tensor decomposition is important and significant. From the algebraic geometric perspective, we intend to propose a rank-r decomposition algorithm for symmetric tensor, which uses generation polynomials. The main contents: 1) Based on the upper and lower bounds of symmetric tensor rank, we introduce the determination condition to obtain the rank of tensor by iteration method. 2) By choosing a suitable base, we can obtain the generation polynomials, whose coefficients and system are solved by effective numerical algorithm. Then, the rank-r decomposition of symmetric tensor is obtained. 3) Build a common software platform to realize the adaptive decomposition of symmetric tensor. The platform adaptively selects the corresponding sub-module according to many characteristics (tensor order, dimension, rank, the characteristic of coefficient matrix, etc). The project connects the theoretical study on rank with decomposition algorithm, and makes a contribution to the study of the rank-r decomposition of symmetric tenor.

张量作为多维结构数据自然而本质的表达方式，受到广泛关注。高维数据的低维表示、信号盲源分离等问题都对应于张量分解，因此张量分解的研究具有重要的应用价值和理论意义。本项目拟从代数几何角度出发，采用生成多项式方法，研究对称张量的秩-r分解算法。主要内容为：1)利用对称张量秩的上下界，引入张量秩的判定条件，设计迭代算法，计算对称张量的秩; 2)在获得张量秩的基础上，选择合适的基，建立生成多项式方程组的表达形式，设计有效的数值算法求解生成多项式的系数以及方程组的解，得到对称张量的秩-r分解式; 3)搭建通用的软件平台，根据张量阶数、维数、秩以及生成多项式系数矩阵等特性选择相应子模块，实现对称张量的自适应分解。本项目在对称张量秩的理论分析与对称张量分解算法研究之间建立了桥梁，为对称张量的秩-r分解研究提供了较重要的理论基础和算法实现。

在大数据时代，随着信息的多维化，相比于传统的矩阵形式张量能更好地表达数据结构之间的内在联系。张量分解在图像处理、信号分析、数据挖掘等领域有重要的应用。本项目主要研究内容有：1)针对对称张量的CP分解问题，引入张量秩的判定条件，根据对称张量秩的上下界，利用迭代算法得到张量的秩，给出一种基于生成多项式的精确秩-r分解算法。将算法应用到Hankel张量分解问题中，发现信号处理中很多Hankel张量具有低秩特性，利用该算法可以得到高维Hankel张量的精确秩-r分解表达式。2)由于实际问题中，数据都存在一定的扰动，扰动可能导致数据张量的秩发生很大改变，此时张量的精确秩-r分解没有意义。因此我们研究张量的秩-r逼近算法。针对实Hankel张量建立了保Vandermonde结构的秩-r逼近模型，通过最小二乘和松弛约束，将其转化为线性空间中的投影问题，根据Vandermonde向量生成元和齐次多项式零点的同构关系，最终转化为多项式系数的拟线性问题，得到了一种实Hankel张量的Vandermonde结构秩-r逼近算法。以信号去噪为例，检验模型的合理性与有效性。3)建立了基于logDet函数的张量分解与完备模型，模型对张量进行Tucker分解，用规模更小的核张量代替原始张量去计算，降低了大规模矩阵奇异值分解的计算负担，实现了模型对大规模问题的适用性。引入logDet函数对张量的奇异值根据重要性进行不同程度地赋权，以保留数据的主要特征。在求解过程中，以交替乘子方向法为框架，结合秩调整策略，加快了算法的收敛速度。以彩色图像为例，对比10%，30%，50%采样率下的恢复效果，结果验证了该模型与算法的有效性。