动态分歧理论及其在不可压缩磁流体方程组中的应用

The theory of Magnetohydrodynamics（MHD) is developed in the 1940s by Physicists Hannes Alfven, for which he received the Nobel Prize in Physics in 1970. The investigation of stabilities of the MHD equations is a promising research field, since the theory of MHD was established. The dynamic bifurcation and transition theory are concerned with the stability of nonlinear evolution equations and with how the topological structure of orbits changes as the system’s parameter varies. In this project, we mainly study the following three problems by using the dynamic bifurcation and the transition theory. 1. We investigate the critical criterions and style of transition of nonlinear perturbed system for eigenvalues of linear continuous field with the various critical crossing and the nonlinear terms are k order linear operator. 2. The laminar stability of two-dimensional incompressible MHD equations with viscosity and magnetic diffusion coefficients varing in horizontal and vertical direction. 3. The magnetic thermal stability of two-dimensional incompressible MHD equations. This project aims to improve the dynamic bifurcation and transition theory of nonlinear perturbation system with dissipative term, and to explore the physical mechanism of phase transitions of two-dimensional incompressible MHD flow.

物理学家Hannes Alfven于上世纪40年代建立了磁流体动力学(MHD), 并因此获得了1970年的Nobel物理学奖。 自从该理论建立以来，磁流体动力学方程组稳定性的研究一直是活跃的研究领域。 动态分歧和跃迁理论主要用于研究非线性演化方程的稳定性及轨道拓扑结构是如何随系统参数改变而变化。 . 本项目拟用动态分歧与跃迁理论研究以下三个问题：1、完善非线性摄动系统的线性全连续场特征值在不同临界穿越，且非线性项是k阶（k>=2）线性算子的情况下，跃迁发生的判据和跃迁类型。 2、研究二维不可压缩磁流体动力学方程组的粘性和磁扩散系数在水平和垂直方向不同情况下的层流稳定性。 3、研究二维不可压缩磁流体动力学方程组的磁热稳定性。 本项目旨在完善带耗散项非线性摄动系统的动态分歧与跃迁理论，探索二维不可压缩磁流体发生相变的物理机制。

物理学家Hannes Alfven 于上世纪40年代建立了磁流体动力学(MHD)，并因此获得了1970年 的Nobel物理学奖。从该理论建立以来，磁流体动力学方程组稳定性的研究一直是活跃的研究领域。 动态分歧和跃迁理论主要用于研究非线性演化方程的稳定性及轨道拓扑结构是如何随系统参数改变而变化。. 本项目首先以具有物理意义和生物意义的实际问题为驱动，对动态分歧和跃迁理论结合随机、多参数分歧、时滞方面的具体问题进行了一定的尝试和探索。具体为①研究了奇周期边界条件下2维Swift-Hohenberg方程（SSHE）在乘性噪音扰动下的随机吸引子分歧问题，得到了随机拉回吸引子的发生条件及其拓扑结构。②对带有扩散的三种群Lotka-Volterra模型，研究了多参数分歧问题，找到多参数分歧发生的判据，得到具有生物意义的分歧结论，并做了具有生物意义的解释；③建立一个实际的收入-资本Kaldor-Kalecki模型，同时考虑时间延迟或空间扩散。首次以时滞作为分歧参数，在两种不同的边界条件下，通过理论和数值分析研究了正平衡态的稳定性和周期震荡的稳定性。根据数学结论分析得到了一些经济学结论。. 其次将分歧和跃迁理论应用到磁流体方程组：④结合黎曼流形微分算子理论，推导圆柱坐标系下的太阳光球层米粒组织不可压缩磁流体控制方程，考虑Rayleigh数与磁场这两个控制参数的情况，得到了米粒组织对流的发生的相图和对应机制；⑤结合傅里叶分析研究了磁流体Rayleigh-Benard对流模型在全空间中全局弱解的存在性，并得到弱解在L^2范数意义下的渐近稳定性。