不可压缩磁流体力学方程组高效有限元算法研究

Magnetohydrodynamics (MHD) equations are very important physical equations, which are the Navier-Stokes equations coupled by the Maxwell equations. The model has a wide range of applications in the design of submarine propulsion, the cooling of the reactors, the MHD engine in aeronautical engineering and nuclear electric power generation. Therefore, it is both theoretically and practically important to investigate numerical methods for the equations. The finite element method is commonly used to numerically solve the MHD system, however it generally leads to a large scale computation and low efficiency. This project is mainly intended to develop high-performance finite element parallel algorithms and fast solvers for incompressible MHD equations. Firstly, the local and parallel finite element algorithms are proposed and a priori error estimate is derived. Secondly, by combining with standard iteration methods, the linearized local and parallel finite element algorithms are designed and analyzed. Finally, the parallel nonconforming finite element algorithms based on domain decomposition method and multi-grid algorithm are investigated, and the stability and convergence are given. At last, some corresponding numerical experiments are made to verify the validity of the above algorithms.

磁流体力学（MHD）方程组是由 Navier-Stokes 方程和 Maxwell 方程耦合而成的非常重要的物理方程。广泛应用于潜艇推进设计、核反应堆的冷却、航空工程中磁流体发动机及原子能发电等。因此研究和构造 MHD 方程组的高效数值求解方法不但具有重要的理论意义，也具有直接的实际应用价值。有限元方法是求解 MHD 系统常用的数值方法，但是一般情况下使用有限元方法求解 MHD 方程组时, 计算规模比较庞大，求解效率比较低，所以本项目主要研究求解不可压缩 MHD 方程组的高效有限元并行算法及快速求解算法，包括：提出不可压缩 MHD 方程组有限元局部和并行算法, 并作先验误差估计；结合经典的迭代算法，设计线性化的有限元局部和并行算法；探索基于区域分解技巧和多重网格离散方法的非协调有限元并行算法研究，分析它们的稳定性与收敛性。并且研究相应的数值实验来验证。

磁流体力学（MHD）有效的数值算法研究是计算数学界的热点和难点之一。本项目主要研究不可压缩 MHD 有限元局部和并行算法, 并给出先验误差估计。表现在：（1）构造出定常不可压缩 MHD 基于Oseen 型迭代的局部并行有限元算法，利用Oseen 型迭代在整体求解区域的粗网格上求解一非线性问题，利用区域分解技巧将求解区域分解成若干重叠型子区域并加密，然后在局部细网格子区域上并行求解Oseen 型线性化亏量矫正有限元格式。算法的优点是：降低通讯复杂度且能有效求解大雷诺数问题。在唯一性条件下，给出数值解关于迭代步和网格尺寸的误差估计。（2）构造出定常不可压缩 MHD 基于Newton型迭代的局部并行有限元算法，并系统分析它的一致稳定性及最优误差估计。该算法是上述算法的推广，但Newton型迭代速度比Oseen型快。（3）基于完全重叠型区域分解，时间采用 Euler 隐/显格式，设计非定常不可压缩 MHD 的并行有限元算法。每台处理器负责求解一个 Euler 隐/显全离散有限元子问题，每个子问题定义在整个求解区域上，但其大部分自由度定义在所负责的子区域上。每个子问题的线性项用隐式格式离散，非线性项用显式格式。算法有良好的并行性，能有效求解非定常不可压缩MHD问题。另外一方面，针对非定常不可压缩Navier-Stokes 方程组，提出了有限元全离散 Crank-Nicolson 蛙跳(CNLF) 格式。空间用有限元方法逼近，时间方向离散选取CNLF 格式逼近线性项，半隐式格式处理非线性项。证明此全离散有限元格式是几乎无条件（即时间步长小于一常数）稳定的。通过使用新的负模技巧，得到了时间和空间的L^2 模最优误差估计。最后通过大量的数值算例验证了算法的正确性和有效性。..通过这三年的努力，我们在本项目中初步建立起了不可压缩 MHD 的并行有限元算法的理论分析及数值计算的一般性框架，设计出了一批具有特色的数值计算程序，顺利完成了研究计划和任务。由于国际上在这方面的报道很少，本项目组所取得的创新性和成果对丰富和发展不可压缩流体力学的有限元计算有着重要的理论意义和应用价值。