某些控制系统的时间最优控制的切换次数问题

This project aims to study the number on the switchings of time optimal controls for some dynamic control systems, especially for the linear time-independent ODEs and the heat equations. For the ODEs case, we study the distributions of the switchings of two kinds of time optimal control problems with different kinds of control constraints: one is of ball type and the other is of rectangular type. We expect the following conclusions: there is an explicit constant, only depending on the complex spectrums of the system matrix, so that on each time open subinterval of the length less than this explicit constant, the number on the switching points of time optimal controls is less than another explicit positive integer (less than the number of the equations of control systems), which is optimal in some sense. For the heat equation, we expect to obtain results which are similar but a little different when compared to the ODEs case.

本项目拟研究微分动态控制系统的时间最优控制的切换次数问题，特别是对线性自治常微分控制系统和热控制系统。对于常微分控制系统，我们考虑两类时间最优控制问题的切换点的分布情况：一类是球形控制约束集，另一类是矩形控制约束集。我们认为，存在一个显示给定只依赖于系统矩阵的复值谱的正常数，使得在每个长度小于这个正常数的时间开区间上，时间最优控制的切换点不会超过另一个显示正整数（此正整数小于控制方程的个数），并且这个正整数是最优的。对于热控制系统，我们期待得出类似的结果，但有不同于常微分系统的地方。

本项目原计划研究微分控制系统的时间最优控制的切换次数问题，特别是对线性常微分控制系统和耦合抛物控制系统。这类问题旨在提供最优控制的丰富信息，是最优控制理论中重要问题之一。在该项目的执行过程中，我们还研究了与之相关的另一类控制问题—带周期脉冲控制的常微分系统的能稳性。目前我们所得到的重要研究成果如下：（1）对于线性自治常微分控制系统，时间最优控制在任意长度等于一个显示常数（由系统矩阵的谱给出）的时间开区间内，其切换点（即间断点）个数小于另一个显示常数（由系统矩阵和控制矩阵给出），而且在每个切换点处，其取值从一个方向跳转到反方向；（2）对于常系数耦合热控制系统，时间最优控制在任意长度等于一个显示常数（由耦合矩阵的谱给出）的时间开区间内，其切换点个数小于另一个显示常数（由耦合矩阵和控制矩阵给出）；（3）对于带周期脉冲控制的常微分控制系统，我们建立了该控制系统能够反馈稳定的充分必要条件，并且给出了设计反馈器的 LQ 方法。总的来说，前两个研究结果给出了时间最优控制的许多有用信息，进一步丰富了最优控制理论；最后一个研究结果帮助丰富了脉冲控制系统的相关理论。