非线性变系数波动方程的动力学研究

In this project, we will consider the dynamics of nonlinear variable coefficients wave equation. The main goal is to investigate the periodic solutions and the dynamical properties for the variable coefficients wave equation with bounded nonlinearity, the nonlinear variable coefficients wave equation with damping and the nonlinear variable coefficients Kirchhoff equations. . The wave equation arises from the description of various wave phenomena in nature, it has important physical background and rich and complex dynamics, so it has been one of the hottest research topics in the fields of mathematical physics, nonlinear science and dynamical systems. The research on the dynamics of nonlinear wave equation has attracted great attention of many mathematicians for a long time. Until now, plenty of results have been obtained for the classical constant coefficient wave equation, while very little is known for the variable coefficients wave equation which describes the wave propagation in inhomogeneous media. This project will study the dynamics of nonlinear variable coefficients wave equation and the aim is to make clear its dynamical properties. These will be able to provide some necessary theory basis for people's further understanding of the various wave phenomena in nature.

本项目主要考虑非线性变系数波动方程的动力学，拟对具有界非线性项的变系数波动方程、具有阻尼作用的非线性变系数波动方程和具有非局部影响的变系数Kirchhoff型波动方程的周期解及其动力学性质开展研究。. 波动方程源于自然界中各种波动现象的描述，具有重要的物理背景和丰富而复杂的动力学特性，因此成为数学物理、非线性科学和动力系统领域中的热点研究课题之一。非线性波动方程的动力学研究长期受到国内外众多知名数学家的广泛关注，并取得了丰硕的研究成果。但现有结果大多是研究经典的常系数波动方程，而对于描述非均匀介质中波传播的变系数波动方程的研究相对较少。本项目将以非均匀介质中的波传播问题为背景来考虑非线性变系数波动方程的动力学，旨在揭示非线性变系数波动方程的一些动力学性质，为人们深入认识和理解自然界中各种各样的波动现象提供必要的理论依据。

非线性变系数波动方程的动力学研究是微分方程、动力系统和非线性科学领域中的热点课题之一，在数学、物理和其他很多学科领域有着广泛的应用背景，长期受到国内外学者的持续关注。本项目执行过程中，按照原有研究计划，以非均匀介质中的波传播问题为背景来考虑非线性变系数波动方程的动力学，着重围绕变系数波动方程、非局部Kirchhoff型波动方程和梁振动方程的周期解，以及某些非局部耦合无穷维系统的动力学行为开展研究，得到了具有界非线性项的变系数波动方程周期解的存在性，给出了具有阻尼影响的变系数波动方程解的长时间衰减估计，建立了具有非局部影响的Kirchhoff型波动方程的周期解的存在性、正则性和局部唯一性结果；研究了耦合变系数波动方程系统的大幅周期解分支，建立了声波和弹性波相互作用散射问题的解的适定性与稳定性等。于《Archive for Rational Mechanics and Analysis》、《Journal of Differential Equations》、《SIAM Journal on Mathematical Analysis》和《ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations》等高水平学术刊物发表论文20余篇，获得吉林省突出贡献专业技术人才1人，入选国家天元数学东北中心优秀青年学者奖励计划2人，晋升教授2人，晋升副教授1人，很好地完成了项目的预期目标。所得结果刻画了非线性变系数波动方程的解的动力学行为，为人们认识和理解复杂介质中的波动现象提供了必要的理论依据。