锥互补问题的高效模系数值算法及预处理技术研究

Cone complementarity problem has been extensively applied in seismogenic mechanism, artificial intelligence, data mining, image processing, internet of things and other fields. Therefore, it is of great significance to study the efficient numerical algorithm for the cone complementarity problem. This project aims to propose the efficient modulus-based numerical algorithm for the linear complementarity problems on semidefinite cone, circular cone, and copositive cone. Based on the structural features of the above cones, we define the modulus associated with cones and study their properties. The core of this project is to equivalently transform the cone line complementarity problems into special linear systems via modulus associated with cones. The derived equivalence problems preserve the linear part of the original problems. Taking full advantage of the special structures of large sparse system matrix, we attempt to construct the efficient modulus-based iteration methods, as well as to propose the related practical preconditioning techniques. Meanwhile, the convergence, stability and complexity of the numerical algorithms are studied. In addition, the designed robust numerical algorithms are popularized to solve more practical problems with wide application. The researches of this project will provide new theoretical and methodological supports for scientific and engineering technicians who are engaged in the numerical simulations of the cone complementarity problem.

锥互补问题在地震孕震机制、人工智能、数据挖掘、图像处理、物联网等领域具有广泛的应用，因此，研究锥互补问题的高效数值方法具有十分重要的意义。本项目旨在研究半正定线性互补问题、旋转锥线性互补问题、协正锥线性互补问题的高效模系数值算法。根据各类锥的结构特征，定义锥上元素的“模值”，并研究“模值”的性质。借助锥上的“模值”，将锥线性互补问题等价转化为特殊的线性方程组，所得的等价问题保留了原问题的线性部分。充分利用大型稀疏系统矩阵的特殊结构，设计运算量少、收敛速度快的模系迭代方法并提出切实可行的预处理技术。进一步，分析算法的收敛性、稳定性、复杂性。同时，将设计的高效稳定的数值算法推广应用于更多实际问题中，使得算法更具有实际应用价值。本项目的研究成果可为科学与工程技术人员从事锥互补问题的数值模拟与仿真提供新的理论和方法支持。

锥互补问题在地震孕震机制、人工智能、数据挖掘、图像处理、物联网等领域具有广泛的应用，因此，研究锥互补问题的高效数值方法具有十分重要的意义。本项目研究了半正定锥上的线性互补问题、二阶锥上的非线性互补问题、互补问题衍生的弱非线性方程组、旋转锥上的张量互补问题、非负锥上的张量互补问题、非负锥上的非线性互补问题。根据各类锥的结构特征，定义锥上元素的“模值”，并研究“模值”的性质。借助锥上的“模值”，将锥线性互补问题等价转化为特殊的线性方程组，所得的等价问题保留了原问题的线性部分。充分利用大型稀疏系统矩阵的特殊结构，设计运算量少、收敛速度快的模系迭代方法并提出切实可行的预处理技术。针对锥上的非线性互补问题，将其等价转化为锥上的弱非线性方程组，设计非线性方程组的高效数值算法。进一步，分析算法的收敛性、稳定性、复杂性。同时，将设计的高效稳定的数值算法推广应用于更多实际问题中，使得算法更具有实际应用价值。