双鞍点问题的高效自适应迭代算法及预处理技术研究

Large sparse linear systems with double saddle-point structure arise in a wide variety of scientific and engineering applications. Designing efficient numerical algorithms for this kind of linear systems is one of the core contents for solving these practical problems. Comparing with the general saddle-point problems, double saddle-point problems have more complex structure and properties, which have increased the solving difficulty. Some of the existing methods can not fully meet the practical needs in either theoretical analysis or numerical verification. In order to meet the requirements of efficient algorithms for the double saddle-point problem generated from different application backgrounds, this project aims at designing efficient self-adaptive Uzawa iterative algorithms based on a double splitting of coefficient matrix, by referring to the classical algorithm for solving the general saddle-point problem. Meanwhile, considering that the complex structure of double saddle-point problems may lead to more Schur complement matrices, we will construct preconditioners without Schur complement based on some classical preconditioners. Through the research of this project, we can not only provide efficient numerical algorithms for the double saddle-point problem, but also solve practical problems effectively in the related fields.

双鞍点结构的大型稀疏线性系统广泛的存在于科学与工程等诸多应用领域，对其设计高效的数值解法是解决这些实际问题的核心内容之一。相对于一般的鞍点问题，双鞍点问题系数矩阵更为复杂的结构和性质增大了问题的求解难度，现有的一些求解方法无论在理论分析中还是在数值验证上都并不能完全满足实际需要。为了满足双鞍点问题对高效求解算法的需求，本项目针对产生于不同应用背景的双鞍点问题，通过借鉴求解鞍点问题的经典算法，设计出适用于双鞍点问题的基于系数矩阵双重分裂的高效自适应Uzawa类迭代算法。同时，考虑到双鞍点问题复杂的分块形式会涉及到更多Schur补矩阵的求解，我们将在一些经典预处理子的基础上构造无Schur补运算的预处理子。通过本项目的研究，不仅可以为双鞍点问题提供高效的数值求解算法，也可以有效的解决相关领域的实际问题。

双鞍点问题广泛的产生于许多重要的科学应用领域，比如利用混合有限元方法数值离散不可压缩的磁动流体力学问题和液晶模型，内点法求解二次规划问题，非牛顿流体和地球物理学中一些不可压缩流的有限元模型等。本项目通过借鉴求解鞍点问题的经典算法，设计出适用于不同应用背景中双鞍点问题的高效迭代方法和预处理子。对于液晶指向矢分布和时谐涡流模型中的双鞍点问题，通过借助特殊的分块二乘二分割处理，设计了一类块交替分裂隐式(BASI)迭代方法和预处理子，理论分析验证了BASI迭代方法的无条件收敛性。基于产生于速度追踪Stokes优化控制问题的双层离散鞍点问题的新的等价变形技巧，我们提出了两类有效的预处理子，并且给出了能够避免求解其内外相结合的迭代实现过程中产生的的鞍点问题的实用不精确变形。针对利用“一次性”策略求解抛物和时间分数阶优化控制问题所产生的的具有互异主对角块的二乘二分块张量积和Toeplitz结构线性系统，我们提出了能够借助低秩近似和对角化技术与“时间低秩”和“时间并行”策略相结合的有效预处理子。数值实验表明，我们所设计的迭代方法和预处理子，均展现出了不依赖于问题规模，以及频率和正则化参数的稳定高效的数值表现，为求解几类双鞍点问题提供了有效的算法保障。