关于一些非线性色散波方程的长时间性态研究

The nonlinear dispersive and wave equations are the important members of the paritial differential equations, and the long time behavior of the solutions is the basic problems which the Mathematicians and physics are concerned about. A series of research work has been done by the main project participants on the global well posedness, scattering, and the stability theories of the solitary wave solutions of the nonlinear dispersive and wave equations. In this project, we further study the long time behavior for some nonlinear dispersive equations by using the tools of the harmonic analysis, functional analysis, and variational methods. The main contents are the following..1. We will study the global well-posedness and scattering for the cubic nonlinear Schrödinger equation in the three dimensions. We study the outgoing waves for the linear Schrödinger equation, and using them to constuct a class of the global and scattering solutions which are large in the critical or supercritical spaces..2. We will study the global well-posedness and scattering for the nonlinear wave equations. By using the concentration-compactness argument and weak diffraction properties, we plan to prove the global well-posedness and scattering for the solutions in the critical space..3. We will study the instability of the solitary wave solutions of the nonlinear Klein-Gordon equation. Using variational methods, spectral theory, we plan to show the solitary wave solutions in the critical frequency cases are instability.

非线性色散波方程是偏微分方程的重要成员，其解的长时间性态是数学物理学家们关心的基本问题和热点问题。项目主要参与人在非线性色散波方程解的整体适定性，散射性，爆破性及孤立波解的稳定性理论等方面做出了一系列的研究工作。本项目拟进一步运用调和分析，泛函分析，变分理论等工具研究几类非线性色散方程的长时间性态。主要的内容包括：.1. 研究三维库仑非线性Schrödinger方程的整体适定性和散射性。我们拟通过研究线性Schrödinger算子的输出性质，构造一类在临界空间或超临界空间中的大初值解，使其整体存在并散射。.2. 研究偶数维非线性波动方程的整体适定性和散射性。我们拟运用集中紧方法及弱衍射性质研究解在临界空间中的整体适定性及散射。.3. 研究非线性Klein-Gordon方程孤立波解的不稳定性。我们拟运用变分法，谱理论等研究孤立波解在临界频率时的不稳定性。

本项目主要从事色散偏微分方程的理论和数值计算. 主要内容包含:.1. 非线性色散方程孤立波解的稳定性理论。 该部分研究内容包含Klein-Gordon方程、广义导数Schrodinger方程和广义Boussinesq方程等在孤立波解在临界情形的不稳定性。部分成果分别解决了ICM报告人Bona在1993年、加拿大皇家学会会士C.Sulem在2013年遗留下来的端点问题. .2. 非线性色散方程的整体适定和散射理论。 其中包含非线性Schrodinger方程在临界空间或超临界空间中的整体适定性和散射理论、广义导数Schrodinger方程的最优小初值散射理论。部分成果是继菲尔兹奖获得者J.Bourgain1999年工作后的一个新进展。.3. 非线性色散方程的数值分析。 其中包含非线性Schrodinger方程和KdV方程在低正则空间中的数值算法和收敛性分析。 部分成果改进了菲尔兹奖获得者T.Tao和ICM大会报告人C.Lubich分别在2011和2008年的工作..相关成果发表于Comm.Math.Phys.、Adv.Math.、Math.Comp.、Numer.Math.、SIAM J.Numer.Anal.、Math.Res.Letters、Indiana Univ.Math.J.、SIAM J.Math.Anal.、J.Differ.Equ.等国际数学杂志上.