一类弱形式的正倒向随机微分方程及其在随机最优控制问题中的应用

The forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs) have wide and significant applications in financial mathematics, stochastic optimal control problems and so on. In the last three decades, though the theory of FBSDEs has made great progresses, there are still three difficulties when being applied to discuss and solve stochastic optimal control problems. It is difficult for us to establish the maximum principle for stochastic optimal control problems in weak formulation. For stochastic optimal control problems in strong formulation, the Hamiltonian function in the maximum principle is not consistent with that in the dynamic programming principle. The wellposedness of many FBSDEs arising from the practical problems cannot be obtained by the existing results. By reviewing some classic application problems, this project aims to introducing a new kind of FBSDEs which is called the FBSDEs in weak formulation, giving the definition and properties of solutions, and especially investigating its applications in stochastic optimal control problems. On one hand, we will establish the maximum principle and the existence of optimality for a kind of optimal control problems in weak formulation. On the other hand, we will reformulate the Hamiltonian system and Hamiltonian function for optimal control problems in strong formulation, so as to strengthen the relationship between the maximum principle and dynamic programming principle. Moreover, we will establish the wellposedness of FBSDEs in weak formulation by investigating the corresponding quasilinear parabolic partial differential equations.

正倒向随机微分方程在金融数学以及随机最优控制等领域有着广泛和重要的应用。近三十年来，在正倒向随机微分方程理论取得巨大进展的同时，利用其研究并解决随机最优控制问题仍存在三方面的困难：弱框架的随机最优控制问题的最大值原理难以给出；强框架的随机最优控制问题的最大值原理与动态规划原理中的哈密顿函数不一致；很多在实际问题中出现的正倒向随机微分方程的适定性无法由现有的结果得到。本项目旨在通过回顾经典的应用问题，引入一类新型的正倒向随机微分方程——弱形式的正倒向随机微分方程，给出解的定义和性质，并重点探讨其在随机最优控制领域中的应用。一方面，我们建立一类弱框架的随机最优控制问题的最大值原理以及最优控制的存在性。另一方面，我们重新给出强框架的随机最优控制问题的哈密顿系统和哈密顿函数，以加强最大值原理与动态规划原理的联系。此外，我们通过研究相应的拟线性抛物型偏微分方程建立弱形式的正倒向随机微分方程的适定性。

正倒向随机微分方程在金融数学以及随机最优控制等领域有着广泛和重要的应用，但是利用其研究并解决随机最优控制问题仍存在多方面的困难。本项目提出了一类弱形式的正倒向随机微分方程，获得了关于此类方程的若干结果及其在随机最优控制问题中的应用。主要的研究内容和研究结果是：1. 建立了一类弱形式的正倒向随机微分方程的基本理论和研究方法，给出了弱形式的正倒向随机微分方程的形式和解的定义，通过举例说明其合理性与必要性，对照经典形式的正倒向随机微分方程，给出了与弱形式的正倒向随机微分方程相联系的Feynman-Kac公式及其与一类正倒向鞅问题的等价关系；2.研究了弱形式的正倒向随机微分方程在随机最优控制问题中的应用，一方面给出了弱框架下的随机最优控制问题的最大值原理，另一方面改进了最大值原理和动态规划原理的联系；3.借助偏微分方程的相关理论和方法给出了弱形式的正倒向随机微分方程的强解和弱解的存在性和唯一性，使其具有更高的应用价值。.另外，在本项目的进展过程中还研究了以下三类问题。1. 由于金融衍生产品的多样性和金融市场的复杂性，很多时候未定权益的到期日与投资组合的执行时刻是随机时间，当该随机时间满足一定的概率分布时，给出了标的资产价格受布朗运动和泊松点过程联合驱动以及市场中存在通货膨胀时的最优投资组合。2.动态规划原理在时间不相容随机最优控制问题中不再成立，传统的最大值原理也只是对于时间相容问题成立，在博弈论的框架下给出了一类时间不相容的非零和对策问题的Nash均衡解。3.带平均场的随机最优控制问题也是近年来一个广受关注的研究方向，考虑到此类问题的研究背景和解决实际问题的需要，讨论了一类带平均场的时间不相容随机最优控制问题，首次提出了此类问题的ε-Nash均衡解的定义并给出一个线性的状态反馈形式。.本项目的研究成果不仅丰富和发展了正倒向随机微分方程理论，还促进正倒向随机微分方程在随机最优控制领域中的应用。