弹性薄壳中的有限元逼近问题研究

弹性薄壳由于在一个方向的尺度远小于另外两个方向，如果用三维均匀网格求解不仅计算代价非常高，还会产生锁闭现象。如何用二维模型逼近三维问题一直是弹性薄壳逼近问题的一个重点和难点。本项目创造性地应用Taylor展式和有限元分析相耦合的方法研究了弹性薄壳的逼近问题,主要包括:1)对线性、非线性弹性薄壳分别提出一种新的二维逼近模型，模型新颖之处在于其由三个二维变分问题组成；构造出新的三维逼近解，新颖之处在于其形式为按厚度方向变量展开的二阶Taylor展式，主导项、一阶项、二阶项分别满足所提出的三个二维变分问题；证明解的存在性、唯一性、三维逼近解和真解之间的误差估计。2）离散新的二维线性、非线性弹性薄壳逼近模型；应用有限元分析方法给出逼近模型的数值解；构造合适的inf-suf条件，推导出数值解和三维真解之间的一致误差估计。本项目提出的方法有助于推广到中厚壳，为弹性壳体在工程中的应用提供新的研究途径。

在本项目执行期期间（2012.1.1-2014.12.31），项目组成员在国家自然科学基金委的资助下，主要研究了线性、非线性弹性薄壳模型与数值分析。主要工作如下:. 1)对线性弹性壳体：提出了Koiter型线性弹性壳体模型的常微分形式，成功地将三维问题用一维问题来逼近，在保证计算精度的条件下，一维问题的计算代价要比三维的更低；采用新的渐近分析方法，利用线性弹性Hooke定理，提出线性弹性壳体应力张量的渐近表达式，新的渐近分析方法区别于经典的渐近分析方法，三维逼近解按照中性面法向方向的变量展开,而不是按壳体厚度展开，同时对特殊半球壳进行数值实验，得到中性面上位移和应力场的分布。. 2)对于非线性弹性壳体：采用微分几何和张量分析方法，在考虑弯曲能占优的前提下，提出了一种新的非线性弹性柔性壳模型；同时对特殊的半圆柱壳进行数值实验，比较了我们提出模型与Ciarlet提出的模型，数值实验表明：我们提出的模型比Ciarlet提出的模型更为精确，更好的逼近三维解。. 3)此外，我们将弹性薄壳理论应用到粘弹性力学、计算几何以及生物数学等领域：研究了广义分数阶弹性模型的精确解及渐近行为，该方法可直接推广至多维情况下的时间-空间分数阶方程；研究了压电轴向粘弹性板的动态特性和稳定性。. 项目组成员中有两人先后赴美国、瑞士等国开展学术交流与访问，三人已经在项目执行期晋升为副教授，项目负责人还被评为2013年度“陕西省青年科技新星”。通过本项目的资助，目前已接受和发表学术论文共 15 篇，其中SCI 8 篇 EI检索 3 篇，中文核心4篇。部分成果已经投稿，有些成果正在整理中。同时，受本项目资助培养博士研究生2名(1名已毕业)，硕士研究生3名 (1名已毕业)，参加国际学术会议2人次。