连通自相似分形的拓扑学与拟共形几何学

A fractal generated by iteration often has very strong geometric rigidities. Ususally, these rigidities can be accurately described by the properties of suitable mappings from the fractal to itself. We shall study on topology and quasiconformal geometry of planar connected self-similar fractals. The purpose is to investigate systematically the topological rigidity and the quasisymmetric rigidity of such fractals. Specifically, our questions can be formulated as follows: 1) Classifying fractals by the topology, bi-Lipschitz, or quasisymmetry; 2) Determining the self-homeomorphism, bi-Lipschitz, or quasisymmetry groups of a fractal; 3) Finding out complete quasisymmetric invariants of a fractal. 4) Characterating similarity embeddings of a fractal into itself; etc. This study requires the mathematical fundations on fractal geometry, topology, analysis, quasiconformal mappings, quasisymmetric mappings, and geometric measure theory, etc. The tools contain cut points and cut sets of a fractal; various carpet moduli of families of paths; weak tangent space of a fractal at a point; various quasisymmetric invariants of a fractal, etc. We shall do our work by means of such tools together with the self-similarity and the symmetry of fractals. It is hopeful to obtain systematic results for several classes of planar connected self-similar fractals.

由迭代生成的分形，通常具有很强的几何刚性。借助于一个分形到自身的适当的映射的性质可以精确描述分形的刚性。本项目主要研究平面上连通的自相似分形的拓扑学及拟共形几何学，旨在从拓扑和度量的角度对这些分形的拓扑刚性与拟对称刚性进行系统的探讨。具体来说，将研讨分形的拓扑、Lipschitz、拟对称等价分类；分形的自同胚群、bilipschitz自映射群、及拟对称自映射群；分形的完全拟对称不变量；分形到自身的相似嵌入的刻画等几个方面的问题。项目需要分形几何、拓扑学、分析学、拟共形映射理论、拟对称映射理论、以及几何测度论等方面的基础。研究方法包括：分形的切点与切集；曲线族的各种地毯模；分形在一个点的弱切空间；分形的各种拟对称不变性质，等等。我们将利用上述研究方法以及分形的自相似性与对称性开展研究，有望对于几类平面上连通的自相似分形获得系统的研究成果。

项目的背景源于以下开问题：给出一类具有分数共形维数的连通自相似集，计算出其共形维数的精确值，这里集合的共形维数是指其拟对称象的Hausdorff维数的下确界。项目研究连通自相似分形的拓扑学和拟共形几何学，旨在通过此项研究发展一些计算共形维数的方法，以接近或解决上面的开问题。此项研究目前取得了以下结果：（1）证明了Tyson型集及其几种形变版本的拟对称极小性，据此可直接得到Borel函数图的某些子集以及某些自相似集的拟对称极小性，这里拟对称极小集是指Hausdorff维数与共形维数相等的集。（2）研究了一类平面连通自相似集的拓扑学并证明了这类集合的共形维数为1，该例可用于说明共形维数定义中的下确界不一定能达到。（3）周知，集合的拓扑、维数、度量结构等方面的性质影响其测度性质。我们证明了d维欧式空间中Hausdorff维数不超过d-1的集以及满足带孔开集条件的自仿集都是迷向加倍测度的瘦集，进而证明了Baranski地毯是加倍测度的瘦集。（4）设α,β是(0,1)中的实数，其中至少有一个为无理数。我们证明了几乎每个αβ-轨道都是模1一致分布的。此外，在拓扑和Hausdorff维数的意义下，例外集是大的，即第二纲的和满维的。（5）已知，正规数集是Lebesgue满测集。我们证明了正规数集及某些相关的由数字频率定义的子集都不是加倍测度的胖集。除此之外，我们研究了分形三角形，已计算出三类分形三角形的共形维数。重要的是，分形三角形中有很多具有分数共形维数的连通自相似集，为我们解决背景问题提供了具体例子。自相似集或者近似自相似集的拓扑学与共形几何学正在成为分形几何的一个重要章节。我们的研究可能为这个章节提供一点点有意义的内容。