自相似分形的弱切与拟对称映射

In this project, we focus on questions on weak tangents of self-similar sets and quasisymmetric maps, in which two main questions are as follows: When does a quasisymmetric homeomorphism of two self-similar sets induce a quasisymmetric homeomorphism of their weak tangents at a pair of corresponding points? When does a quasisymmetrically rigid self-similar set have a quasisymmetrically rigid weak tangent? Since weak tangents of a set at a given point are not unique, to circumvent the uncertainty, we introduce the concept of similarity point of a self-similar set and define specific weak tangents of a self-similar set at its similarity points. We shall find out the conditions for a self-similar set to have similarity points. For such a self-similar set, we shall decide the set of its similarity points. Furthermore, we shall find out the conditions such that a quasisymmetric map of self-similar sets preserves similarity points. We shall also study the properties of weak tangents of a self-similar set at its similarity points. By these discussions, combining known techniques and conclusions in bibliography, we hope to give answers to the above two main questions.

本项目拟研究与自相似集的弱切及拟对称映射相关的几个问题，其中两个主要问题如下：在什么条件下，两个自相似集之间的拟对称映射诱导它们在一对对应点处的弱切之间的拟对称映射？在什么条件下，拟对称刚的自相似集具有拟对称刚的弱切？因为弱切不是唯一的，为绕开这个不确定性，我们引入自相似集的相似性点的概念，然后，定义自相似集在其相似性点处的特定的弱切。我们将找出自相似集存在相似性点的条件，确定自相似集的相似性点集，考虑拟对称同胚保持相似性点的条件，研究集合在其相似性点处的弱切的性质。通过这些讨论，结合文献中关于弱切及拟对称映射的已有的技巧和结论，我们希望回答上面的两个主要问题。

本项目研究自相似集的弱切及拟对称映射相关的几个问题，这些问题来自于分形几何学和度量空间上的分析学。我们通过将自相似集、弱切、以及拟对称映射等重要概念结合在一起进行研究，从而对自相似分形进行更加深刻的描绘和刻画。由于弱切不是唯一的，为绕开这个不确定性，我们引入了自相似集的相似性点这个概念，然后按照相似性点的相似性常数定义了自相似集在其相似性点处的特定的弱切。为了更好地理解相似性点，我们研究了一些常见集合的相似性点，给出了三分Cantor集的所有相似性点的刻画。我们证明的第一个主要结论是：三分Cantor集的所有相似性点是由它的所有最终周期点构成的集合。围绕相似性点和拟对称映射，我们深入研究和讨论了拟对称同胚保持相似性点的条件。在这个问题的研究过程中，我们发现，相似性点不是拟对称不变的。反过来，容易给出欧氏空间的点集的例子，使得该集到自身的拟对称自同胚保持相似性点，例如标准Sierpinski地毯。另外，我们研究了集合在其相似性点处的弱切的性质，证明了第二个主要结论：欧氏空间的子集之间的拟对称映射可以诱导它们在其相似性点处的弱切之间的规范化的拟对称映射。