两类含奇异摄动的非线性椭圆方程的解的存在性集中性以及多解性的研究

In this project, we would like to use the variational method, the critical point theory and the regularity theory of elliptic equations to study two classes of nonlinear elliptic equations. The existence, concentration and multiplicity of solutions for two classes of singularly perturbed elliptic partial differential equations are disscussed. The main problems we have to study are: (1) Kirchhoff type equations. The Kirchhoff type equation has important significance in the study of string vibration theory and biological system (such as population density). We study the existence, concentration and multiplicity of solutions for a class of singularly perturbed Kirchhoff type equations. (2) Fractional Laplacian type equation. The fractional Laplacian opertaor is the infinitesimal generator in the levy steady-state diffusion process. This equation is closely related to many fields, such as phase transition, the liquid chemical reaction, population dynamics, American option, viscoelastic mechanics. We will study the existence, concentration and multiplicity of solutions for a class of singularly perturbed fractional Laplacian type equations. The above mentioned problems have profound background and the related research has important theoretical significance. In this project, we intend to carry out research in these aspects and hope to make significant progress.

本项目拟将变分方法、临界点理论与椭圆方程的正则性理论有机地结合起来对两类非线性椭圆型方程中的一些问题进行深入的研究。主要研究两类有实际背景的含奇异摄动的非线性椭圆型偏微分方程的解的存在性、集中性以及多解性。我们拟研究的主要问题有:（1）Kirchhoff型方程。Kirchhoff型方程在弦振动理论和生物系统（比如人口密度）的研究中具有重要的意义。我们拟研究一类含奇异摄动的Kirchhoff型方程的解的存在性、集中性以及多解性。（2）分数阶拉普拉斯方程。分数阶拉普拉斯算子是Levy稳态扩散过程中的无穷小生成元，此类方程与很多领域，譬如相变、液体中的化学反应、人口动力学、美式期权、粘弹性力学等都息息相关。我们将要研究一类含奇异摄动的分数阶拉普拉斯方程的解的存在性、集中性以及多解性。以上列举的问题具有重要的背景，开展相关的研究具有重要的理论意义。本项目拟开展这方面的研究并期望取得有意义的进展。

本项目将变分方法、临界点理论与椭圆方程的正则性理论有机地结合起来对两类非线性椭圆型方程中的一些问题进行深入的研究。主要研究两类有实际背景的含奇异摄动的非线性椭圆型偏微分方程的解的存在性、集中性。我们研究的主要内容有:（1）由捕获偶极量子气体的玻色爱因斯坦凝聚现象所产生的Gross-Pitaevskii方程。玻色爱因斯坦凝聚现象表明粒子间的作用是非线性的，对于原子间存在弱相互作用的玻色爱因斯坦凝聚体，它将服从此类非线性Gross-Pitaevskii方程。此类Gross-Pitaevskii方程主要用来刻画量子物理中的偶极相互作用。（2）分数阶拉普拉斯方程。分数阶拉普拉斯算子是Levy稳态扩散过程中的无穷小生成元，此类方程与很多领域，譬如相变、液体中的化学反应、人口动力学、美式期权、粘弹性力学等都息息相关。 我们研究了以上两类含奇异摄动的椭圆型偏微分方程方程的解的存在性、集中性。完成SCI论文两篇。其中一篇发表于优秀级期刊Journal of Differential Equations。