两类典型的非线性椭圆方程(组)解的存在性及其性态研究

This project will mainly focus on two classes of nonlinear elliptic equations(systems) with physical background. .Using variational method, we will solve the following questions: .(1)The existence and the multiplicity of solutions of the Schrödinger-Poisson equations with asymptotically linear nonlinearity, when the potentials are nonconstant;.(2)The influence of parameters or the asymptotically linear nonlinearity on the structure of solutions of the Kirchhoff equation;.(3)The existence of the peak solutions or the multiple solutions for the Schrödinger-Poisson equations and the Kirchhoff equation and the corresponding asymptotic behavior of the solutions are given without the symmetric hypothesis on the potential..Through the study of these problems, we can get a deeper understanding of the influence of the potential, the range of the parameters and the nonlinear term on the solutions of equations with nonlocal terms.

本项目拟应用变分法主要研究两类具有明确物理背景的椭圆方程(组). 拟重点探讨如下问题：.(1)位势不为常数, 非线性项在无穷远渐近线性增长的情形下, Schrödinger-Poisson方程组解的存在性, 多解性;.(2)研究参数或具有渐近线性的非线性项对Kirchhoff方程解的存在性及解的结构的影响;.(3)位势不具有对称性的情况下, Schrödinger-Poisson方程组和Kirchhoff方程的多解与峰值解的存在性并相应给出解的渐近行为刻画..拟通过这些问题的研究, 更加深刻地了解位势, 参数取值范围以及非线性项对含有非局部项的方程解的影响.

本项目主要研究几类具有物理背景的非线性椭圆方程. 应用变分方法, 我们考虑了如下问题:.首先，我们考虑了非线性项在无穷远不必超线性增长的Kirchhoff方程解的存在性与非存在性. 利用变分技巧与Strauss紧性得到了问题径向对称正解的存在性. 进一步，证明了对满足一定条件的非径向对称的位势函数以及非线性项不必在无穷远超线性增长的问题其Pohozaev型极小能量解的非存在性。 我们的结果将非线性Schrödinger方程的存在性结果推广到了具有非局部项的Kirchhoff问题. 其次，对含参数的Kirchhoff方程，运用细致的分析与估计及Harnack不等式，证明了正解的存在性, 通过对正解的一致估计，我们得到了正解的渐近行为等结果. 接着，我们研究了一类带Sobloev临界指标的对数型Schrödinger方程极小能量正解与极小能量变号解的存在性. 通过方向导数与约束极小方法结合逼近理论，将不含临界增长项的方程基态正解的存在性与极小能量变号解的存在性进一步扩展到了方程含有临界项的情形. 最后，我们讨论了带临界指数的一类双调和方程解的存在性与非存在性问题. 应用精细的能量估计，结合山路引理得到了两个参数的相互作用对解的存在性的影响，与单个参数的经典的Brezis-Nirenberg问题相比计算显得更为复杂，需要更精细的分析与估计技巧.