最优N-重线性码的构造及其t-设计研究

Due to their sound algebraic structure and efficient encoding and decoding algorithms，linear codes have important applications in communication, data storage and information security, as well as the focus of mathematical and classical error correction theory. The main objectives of this project are to give a well-rounded treatment of linear code with N-weight and reducible cyclic code based on the theory of finite fields, exponential sums, combinatorial design, and number theory, which include: (1) Try to use zero differential balance function and near-perfect nonlinear functions to construct linear codes and discuss the minimum distance, dimension, weight distribution and complete weight enumerators of the code. (2) Research on the linear codes and cyclic codes based on new cyclotomic theory, especially the codes with optimal parameters. (3) With the relationship between linear codes and t-design, we will construct the t-design using the linear code with a few nonzero weights. Research on these subjects has both important theoretical significance and application value.

线性码由于具有良好的代数结构以及易于描述和加解密的特性, 在通信、数据存储和信息安全等领域具有重要的应用, 并且一直是数学和经典的纠错码理论研究的重点. 本项目拟综合利用有限域、组合设计、数论等理论和工具, 对具有 N-重的线性码的设计以及可约循环码的若干问题展开深入研究, 具体包括: (1) 尝试利用零差分平衡函数和准完全非线性函数等新的密码函数来设计线性码, 并讨论码的最小距离、维数、重量分布以及完全重量枚举等重要指标. (2) 研究基于新型分圆理论的线性码和循环码, 尤其是具有最优参数的线性码和循环码. (3) 利用线性码和t-设计的关系, 探讨利用具有很少非零重量的线性码构造t-设计. 这些课题的研究具有重要的理论意义和应用价值.

本课题综合利用数论、有限域、编码理论、组合设计等数学工具，对流密码系统、编码理论和t-设计的若干问题进行深入研究。成果涵盖了线性码，布尔函数、伪随机序列理论、以及可搜索加密方案的若干关键问题，形成一个比较完整的体系，具有以下创新成果：. (1) 具有较低重量线性码的构造及其应用研究.利用 d-次型函数和定义集的思想，以及布尔函数的Walsh谱值分布和线性码的关系，设计了多类N-重线性码，研究码的维数和重量分布等性质，并探讨线性码在秘密共享和存储系统等方面的应用。所构造的码均是新码，且码中存在关于Singleton 界，Griesmer 界以及码本的（几乎）最优码。并借助于 Magma 等软件设计程序验证了结论的正确性。. (2) 具有多个非零点的循环码的构造及其组合t-设计研究.仿射不变码的非零重量的码字的支撑可用来构造2-设计。基于多类具有两个和三个非零点的循环码，结合Delsarter’s定理和有限域上的二次型理论、指数和理论等，构造了多类具有较少重量的线性码, 给出了所有码的重量分布。证明所设计的几类线性码均为仿射不变码，可以用来设计无限簇2-设计和3-设计，并给出了参数的精确值。. (3) 序列和布尔函数等对称密码相关问题研究.构造了并研究了几类伪随机序列的线性复杂度和极小多项式、稳定性等密码学性质以及序列的迹函数表示。综述了(n, m)函数的信噪比、透明阶和混淆系数方面研究成果，研究了布尔函数的信噪比分布。研究了流密码算法MICKEY的寄存器参数，并分析了一类基于混沌的双模块Feistel结构分组密码算法的安全性。. (4) 公钥密码体制的相关研究.针对现有的可搜索加密技术中数据安全和隐私保护等问题，分别提出了区块链上基于云辅助的属性基可搜索加密方案以及密文策略属性基数据共享加密方案。新方案具有较高的效率以及较高的安全性。