时间-空间分布阶动力学方程的高效数值模拟及其应用研究

Distrbuted-order derivatives can describe some complex kinetic behaviors of some physical processes resulting from the real world more adequately than integer-order derivatives and fractional-order derivatives. Distrbuted-order fractional kinetic equations are believed to have more extensive applicational prospects in the domain of fluid mechanics, polymer physics, electromagnetic field, heterogeneous aquifers, ect.. This project aims to investigate analytical/approximation solutions, numerical methods, numerical simulations of two kinds of distributed-order fractional partial differential equaitons (PDEs) which have important physical magnificance and application backgrouds. And we further explore their applications. Firstly, we transform the time-space distributed-order PDE into a multi-term fractional PDE by using numerical integration techniques. Then, we seek the numerical solution of the multi-term fractional PDE by adopting several numerical methods, such as finite difference method, finite element method and spectral method, ect. And we will give the rigorous proof of the stability and convergence of the numerical methods. Finally, we will design high-efficient numerical algorithms and simulate the distributed-order fractional PDE in order to demonstrate the effectiveness and feasibility of the algorithms. . We expect that we can expand the practical applications of the distributed-order fractional PDEs in science and engineering by providing some stable, feasible and effective numerical methods to the distributed-order fractional PDEs.

研究表明，分布阶导数比整数阶导数和分数阶导数能更好地描述现实世界中一些物理过程的复杂动力学行为。因而分布阶动力学方程在流体力学、高分子物理、电磁场、异构蓄水层等领域中具有更广阔的应用前景。. 本项目拟探索具有重要物理意义和实际应用背景的分布阶偏微分方程的解析解/近似解，系统研究其数值方法、数值模拟及相关应用。首先，利用数值积分技巧，将分布阶的偏微分方程转化为多项的分数阶偏微分方程，给出多项分数阶偏微分方程的解析解/近似解；然后，结合多种数值方法，比如有限差分法，有限元法及谱方法等，给出多项的分数阶偏微分方程的数值解，严格证明数值解的稳定性和收敛性；最后，对数值解设计高效的数值算法，给出算法的数值模拟，验证算法的有效性和可行性。. 本项目旨在为时间-空间分布阶动力学方程提供一些可靠的、高效的数值模拟途径，并将之应用于解决科学工程中具有实际应用价值的数学物理问题。

分布阶导数在粘弹性流体力学、激光与等离子体物理、异构蓄水层等领域中具有广阔的应用前景。由于分数阶导数的历史记忆性、分布性，及应用的紧迫性，因而使得对分布阶动力学方程的数值算法研究更加复杂，更加迫切。 .本项目重点研究了几类具有重要物理意义和实际应用背景的分布阶动力学方程的近似解，系统研究了其数值方法及数值模拟。主要研究内容包括：研究了一个新的时间分布阶-空间双边分数阶导数的对流扩散方程的隐式的数值方法；研究了一个分数阶低扩散方程的二阶隐式差分格式；研究了分数阶的cable方程的Galerkin有限元法；研究了无界区域上时间分数阶扩散波方程的人工边界方法； 研究了空间四阶-时间分数阶扩散波方程的一个新的数值分析方法；研究了耦合Schrö dinger-Boussinesq方程的守恒的紧致差分方法；研究了耦合分数阶Schr ö dinger-Boussinesq方程的守恒的紧致差分方法；研究了多层介质中异常热传导方程的多个参数的反问题的数值求解方法；研究了变阶数的时间分数阶对流扩散方程的径向基函数的微分求积法。并且，我们利用能量法，结合离散的泛函分析技巧，极大极小值原理，数学归纳法等，发展了一些新的理论分析方法，分别给出了这些数值方法的稳定性及收敛性分析；通过数值模拟，验证了这些数值方法的有效性及准确性。. 我们的研究工作为时间-空间分布阶动力学方程提供了一些可靠的、有效的数值模拟途径，并在研究工作的基础上，完成了一些论文，期待我们的研究工作能更好地实现分布阶偏微分在科学工程中的实际应用价值。