有限因子中几何对象的研究

Operator algebras are mainly about C*-algebras and von Neumann algebras. C*-algebras and von Neumann algebras have long been considered as noncommutative topological spaces and noncommutative measure spaces respectively by operator algebraists. Many concepts in these theories have their origin in other branches of mathematics. And the history also shows us that extending the classical tools to the noncommutative situation can often shed new light on the theory of operator algebras. In 2008, Liming Ge and Wei Yuan introduced KS-lattices which are the minimally generating reflexive subspace lattices of von Neumann algebras. In their study, they find a class of KS-lattices that carry canonical geometrical structures. The major goal in our proposed research is to understand the structure of finite von Neumann algebra by studying these geometric objects in von Neumann algebras. We also hope that we can introduce more geometrical concepts that will help us to understand the structure of von Neumann algebras. In order to achieve this, we shall employ methods and results from other branches of mathematics, especially topology and geometry, in our studies.

算子代数的主要研究对象是C*代数和von Neuamnn代数。长期以来，算子代数学家一直将C*代数视为非交换的拓扑空间，而将von Neumann代数理解为非交换的测度空间。本领域中的许多概念都能在其它的数学分支中找到源头。而历史也向我们表明，将经典工具非交换化往往能对算子代数这一学科的发展产生推动。2008年，葛力明和袁巍引入了KS-格的概念，即von Neumann代数的极小生成自反格。他们在研究过程中发现了一类具有自然几何结构的格。本项目旨在通过对此类格的几何性质的探讨来加深对von Neumann代数结构的理解。同时，我们也希望能够将更多的几何概念引入到von Neumann代数的研究之中来。为此，我们将广泛借鉴其它数学领域如：拓扑，几何中的工具及方法来开展研究。

本项目旨在研究von Neumann代数中某些自反格的几何性质，并同时探索算子代数的结构。通过与项目的另一位参与者吴文明教授的合作，我们成功的解答了一些在项目申请之初提出的问题。项目组得到的成果如下：. 1. 在一定限制条件下,中心序列代数非平凡的两个II_1型因子张量积的中心序列代数仍是交换且非平凡的，我们同时构造了满足证明条件的II_1型因子的例子。. 2. 对隶属于有限von Neumann代数的无界算子，证明了Fuglede –Putnam定理。构造了附属于某些II_1型因子的无界算子,使其在该因子中有平凡的换位子,继而在II_1型因子中构造了由4个非平凡投影构成的可迁子空间格。. 3. 矩阵代数中非平凡交换KS-代数不能由单元生成。. 4. 有限von Neumann代数中双三角投影格决定的自反格给出了单位球面到该代数的嵌入。我们证明这些嵌入都是同胚的。同时对此类嵌入的微分性质也做了相应的讨论。对取定的一个双三角格决定的自反格，证明了因子中保持该各不变的自同构子群同构于的某个闭子群。特别的，若此格由三个非平凡的自由投影生成，则该群同构于3元对称群。. 5. 任意包含不可约单位元的刚性C* 张量小范畴可被实现为某个C* 代数的有限Hilbert双模范畴的子范畴。.6. 任意包含不可约单位元的刚性C* 张量小范畴可被实现为自由群因子的模范畴的子范畴。