非线性系统的对称性、守恒律和Riemann-Hilbert问题

Today in the gradual improvement of the linear theory, nonlinear science has been booming in various research fields and become a focus of science research. In dealing with the nonlinear systems, the symmetry analysis is one of the most important and effective method. The symmetry of nonlinear system is related to Darboux transform, Backlund transform and Painleve analysis (singular analysis), conservation laws, solvable nonlinear RHP. Therefore, in-depth exploration of symmetry and conservation laws of nonlinear systems and solvable nonlinear RHP is very important and meaningful. Using Darboux-Backlund transform, residue symmetry and conservation laws and solvable nonlinear RHP in the unit circle, this project will foucs on the nonlocal symmetry of nonlinear systems, and look for nonlocal symmetry and the prolongation of the sysmetry, explore the relationship of symmetry and conservation laws, and solvable nonlinear RHP, then try to apply them in a variety of practical problem and explain some related physical phenomena. It will play an important role in the solving exact solutions and studies of nonlinear system.

在线性理论日臻完善的今天, 非线性科学已经蓬勃发展于各个研究领域而成为研究焦点. 在处理非线性系统时, 对称性分析是最重要也是最有效的研究方案之一. 非线性系统的对称性和Darboux变换、Backlund变换方法、Painleve分析(奇性分析)、守恒律、非线性可解的RHP都有各种各样的联系. 因此, 深入探索非线性系统的对称性、守恒律和非线性可解的RHP是件十分重要而又有意义的事情. 本项目从Darboux-Backlund 变换、留数对称、守恒律和在单位圆上可解的非线性RHP的角度研究非线性系统的非局域对称, 寻找非局域对称及其封闭延拓结; 深入探索对称性、守恒律和可解的非线性RHP间的关系; 并应用于各种实际问题, 解释一些相关的物理现象, 一定会对非线性系统的求解和研究起到重要的作用.

对称性分析是非线性科学中最重要也是最有效的研究方案之一，但局域对称的研究已较为透彻。本项目聚焦非线性系统的非局域对称性、守恒律以及和其他研究方法的联系等重要问题，按原定计划完成了如下内容：1.和Darboux变换、Backlund变换相关的对称和对称代数的研究。我们建立的求强对称算子逆算子的因式化方法，不仅可以比较方便地获得强对称算子的逆算子表达式和包含任意函数的广义对称，而且可以构造一大类具有相同对称的可积系统的方程族。2. 和Painleve性质相联系的留数对称的研究。在Painleve 分析的标准截断展开中关于奇性流形的留数正是非局域对称，利用非局域对称我们可以得到大量的新的传统方法所无法得到的各种不同类型非线性波的相互作用解。3. 两地物理学和两地系统的研究。在已有的非线性系统的基础上，我们利用对称性建立了一些新的可积的AB 物理系统，用以描述发生在不同时间、地点的相互关联/纠缠的两事件的数学物理问题。特别是将非局域对称的理论应用于两地系统，通过对这些两地系统的研究，发现了一些有意义的新物理和新数学。.除上述原定计划，我们还取得了一些新进展：1. 孤子束缚态形成机制及其相关研究。本项目研究了孤子分子的形成机制，提出利用速度共振形成孤子分子的机制，找到了更多的孤子分子模式，发现了可积系统许多新的物理和数学性质，如：由相互作用引起的孤子的相移直接相关量是速度，而不是传统理论中普遍认为的波数；从孤子间距离发生变化的角度，可以认为孤子分子间的相互作用不是通常认为的弹性相互作用等。2. 新行波法及其相关研究。借助于双线性方法并引入背景项，我们提出了求解非线性系统新行波的方法，成功的应用到了高阶非线性方程，得到了系统大量的、无法用传统行波法得到的新行波解，例如背景诱导的孤子解、背景诱导的FCP孤子解，孤子分子解等等。.本项目的完成，不仅理论上揭示了对称在建模、求解方面的重要作用，而且揭示了可积系统一些新的物理性质和现象。