关于群上的短零和序列及其cross number的研究

Zero-sum theory is a modern field of Combinatorial Number Theory and its content is vast. The concerning results are also applied widely in many different scientific subjects including Algebraic Number Theory, Discrete Geometry, Graph Theory, and Ramsey Theory, etc. The main theme of zero-sum theory is to study the zero-sum sequence which is a sequence consisting of elements in an additive finite abelian group G with the sum zero. The various properties of zero-sum sequences are very interesting and became the important subject of zero-sum theory，and to calculate the value of the relevant invariants is an important job. In a short word, this project is to study some invariants concerning the cross number of G. The cross number of a sequence S over a group G is defined as the sum of all the inverse of the order of its elements. Based on the kernel constants and fundamental zero-sum equalities, this project is to study t(G) and \eta (G) . We hope to get some good results, and improve the research of zero-sum theory.

零和理论是组合数论中热门的研究领域,应用非常广泛, 相关的结果被应用到许多其他数学领域，这包括代数数论、离散几何、图论及Ramsey理论等。零和理论的主题是研究零和序列，也就是在加法交换群G中，元素之和为零元的序列。那么对于各种具有不同性质的零和序列的研究是零和理论中的一个重要课题，而计算对应产生的不变量成为零和理论研究中的重要工作。本项目主要研究有关cross number的几个不变量;在群G上，一个序列S的cross number 定义为S中所有元素的阶的倒数之和。本项目从零和理论中几个核心的常数与零和基本等式出发，综合使用来自代数、图论、数论、组合数学以及概率的工具和方法对不变量t(G)和\eta (G) 进行研究。希望通过本项目的探索，取得一些较好的研究结果，进而推进和丰富零和理论的研究。

本项目的研究是建立在零和理论中经典问题的基础上，对于零和理论的发展具有推动作用。主要研究内容及结果如下：.零和理论中重要的问题之一就是研究各种不变量如D(G), s(G),t(G),η(G)，而确定不变量的值是困难的，从而确定上述不变量之间的关系也是具有重要意义的。目前关于不变量t(G)、η(G)、s(G)的关系已有如下两个猜想：. t(G)=η(G),其中G是秩为2的有限交换群；. s(G)=η(G)+exp⁡(G)-1其中G是任意的有限交换群。.本项目从特殊群出发，首先验证并证明了当群G是C_2⊕C_2⊕C_2p时猜想成立，并对特殊群上的极小零和序列结构给出刻画。.在研究唯一分解序列及微零和序列时遇到困难，一筹莫展之时，将问题的前提稍作变换，考虑了交换半群上的相关问题，首先研究了Erdos-Burgess常量，其被定义为最小的一个正整数，使得所有长度大于这个数的序列均包含和是幂等元的子序列。对于一般的半群环，本项目给出了一个紧的下界，并且对于阶为素数幂的交换半群给出了Erdos-Burgess常量的精确值。.设S是一个有限半群，E(S)为S中所有幂等元的集合。Gillam, Hall 和Williams在1972年证明了长度大于等于|S|-|E(S)|+1的序列必然包含和为幂等元的子序列，在此基础上，本项目刻画了不含和为幂等元的子序列的序列结构。关于循环半群上的Erdos-Burgess常量的研究，本项目给出了该常量为有限值时的充要条件，且当该常量有限时，给出了紧的上下界。