带限信号压缩感知重建及其应用

The Shannon sampling theorem tell us that a band-limited signal can be reconstructed exactly by its all sampling points whose sampling frequency is bigger than the band width. Compressed sensing (CS) of discrete Fourier transform (DFT) says that a finite sparse discrete signal can be reconstructed by complex 1-norm minimization subject to equality constrain from its uniform sampling Fourier transform at random on small set of frequencies. In the subject, we study CS of DFT with the real 1-norm minimization with equality constrain and so improve that with the complex 1-norm minimization with equality constrain in which reconstructing signal needs more samples. We also study to reconstruct a band-limited signal from its uniformly sampling points in interval [?T, T]. For the support of the signal in frequent domain is known, we establish the relation between the conditioned number of corresponding discrete linear system and the sampling interval and so available reconstruction. For the support of the signal in frequent domain is not known, we establish the relation between RIP of corresponding discrete DFT CS and the sampling interval and so available reconstruction. Therefore, we establish the theory and algorithm of reconstruction a signal from finite samples in time interval and apply them to MR CS reconstruction and angle-limited image reconstruction.

香浓采样定理它告诉我们，带限可由所有的时域采样频率大于带宽2倍等间隔采样点精确重建。离散Foureir变换的压缩感知说，有限长度的稀疏信号可由频域上的少量随机均匀采样用复的1-范数等式约束极小重建。本项目研究用实的1-范数等式约束极小化方法重建稀疏离散Fourier变换的压缩感知问题，改进用复的1-范数等式约束极小重建需要更多采样点的问题；研究由时间区间均匀（随机和非随机）采样有限个点重建一般带限信号的方法，对于知道带限信号频域支集时，建立重建问题相应离散线性方程组条件数与采样区间的内在关系以及有效重建的关系，对于不知道带限信号频域支集时，建立相应离散格式的压缩感知重建问题的限制等距性质与采样区间的关系和有效重建的关系，用实的1-范数等式约束极小化方法进行重建。由此建立由带限信号有限个均匀采样重建该带限信号的理论和算法，并应用于MR CS重建以及有限角图像重建。

摘要 . 香浓采样定理它告诉我们，带限可由所有的时域采样频率大于带宽2倍等间隔采样点精确重建。离散Fourier变换的压缩感知说，有限长度的稀疏信号可由频域上的少量随机均匀采样用复的1-范数等式约束极小重建。MRI可归结为高维Fourier变换重建问题。本项目试图建立由少的采样重建带限信号并且推广到高维情形，压缩感知（CS）能有效地恢复信号依赖于采样点数和相应的测量矩阵满足适当小的限制等距常熟的限制等距性质，我们试图改进这个限制使得CS能有更广泛的应用。本项目将得到的理论结果应用于MRI和图像重建。具体做了如下的研究和重要进展：提出了由实的1-范数极小重建离散Fourier变换压缩感知方法，该方法能由频域3.5倍或5倍信号稀疏度的采样重建实的或复的稀疏信号，该方法改进了用复的1-范数极小至少要用8倍信号稀疏度的频域上采样点数，才能精确重建该信号；提出了带限信号的压缩感知重建：研究在有限区间内，随机均匀和均匀采样重建带限信号，证明了，当离散采样间隔趋于零时，由频域离散方程的解表示的时间域连续信号在任何有限区间一致地收敛于原信号，并且，当采样区间适当大是频域的离散线性方程组存在唯一解，有好的条件数和满足限制等距性质，这些成果应用于MR CS成像；提出了Landweber迭代格式的最佳收敛和加速收敛松弛策略；提出了基于图像小波稀疏表示结合参考图的纵向MR CS成像方法；提出了基于奇异值分解的测量矩阵加权改进压缩感知测量矩阵限制等距常数方法，该方法改进了对压缩感知对限制等距常数适当小的限制，用该方法预示着CS更广泛应用前景；提出了一种组合采样匹配寻踪和拟牛顿迭代投影稀疏恢复新的贪婪算法；提出了稀疏相位恢复的拓展的OMP算法；提出基于导引图滤波的同时代数迭代重建算法和基于各项异性全变差最小化的类同轴相位成像方法及其在环状伪影矫正中应用。