闭曲面上多涡旋系统的运动

The N-Vortex problem on closed surfaces studies the interaction of N vortices on a given closed surface. Being a Hamiltonian system, it appears in various models of mathematical physics. This project aims at studying essential properties of the N-vortex problem on the closed surfaces from perspective of Hamiltonian systems. First we prove the non-integrability of this system in general situations, thus the impossibility of its complete quantitative description. Next, we will study its typical orbits, in particular, the existence of periodic solutions, the persistence of KAM invariant tori, and the emergence of homoclinic (heteoclinic) chaos. We will benefit from methods in Riemannian geometry and symplectic geometry and reveal the profond link between the dynamical behaviours and the geometry of the closed surface.

闭曲面上的多涡旋系统(N-vortex Problem)是研究给定闭曲面上的多个涡旋之间相互作用的问题。该系统是一个哈密顿系统，出现于若干个数学物理模型中。本项目旨在从哈密顿系统的观点和方法出发来研究曲面上N涡旋系统的一系列核心问题。首先我们力图证明该系统通常情形下不可积，以说明该系统不可完全定量描述。继而我们研究其代表性的轨道，包括周期轨道，KAM不变环面的存在性，以及同宿（异宿）混沌现象的刻画等问题。在此过程中我们将综合运用黎曼几何，辛几何的工具和方法来揭示该系统中动力学行为与闭曲面的几何性质之间的深刻联系。

多涡旋运动是具有奇异性的不可积汉密尔顿系统。由于能量面缺乏凸性和紧致性，一般的拓扑方法和分析方法难以轻易应用其中。本项目在具有通有黎曼度量的球面上对于任意数目的正涡旋组合的运动周期解的存在性进行了探讨。特别的，该项目的研究证明了对于任意多个涡旋，在通有的旋量分布下其不动点构型无法聚集到碰撞流形上，证明了对于任意多个涡旋，在通有的旋量分布和通有的黎曼度量下，Hamiltonian函数是一个Morse函数，并由此通过辛几何中的伪全纯球方法证明了大量周期解的存在性。