多频拟周期格点薛定谔算子的动力学特征

Ergodic Schrödinger operators have basic significance in quantum mechanics and solid state physics. Anderson localization and spectra structure are central topics in the fields. 1D quasi-periodic Schrödinger operator is one of the most typical ergodic one. With it one can define a cocycle which possesses a dynamical system structure. Recently the applications of dynamical system methods to Anderson localization and spectrum structure of single frequecy quasi-periodic Schrödinger has made a great progress, but few for multi-frequency one. Further development is needed. This project aims at a deep study of some important problems on Anderson localization, positivity of Lyapunov exponents and topological structure of spectrum for 1D multi-frequecy quasi- periodic Schrödinger operators.

遍历薛定谔算子在量子力学和固体物理中具有基本的重要性。安德森局域化和谱结构是其中心课题。一维拟周期格点薛定谔算子是最典型的遍历算子之一。它可以定义cocycle，具有动力系统结构。近年来动力系统的方法应用在单频位势薛定谔算子的安德森局域化和谱结构的研究中，取得了巨大的成就，但多频位势情形的研究成果相对较少，有待进一步发展。本项目拟对一维多频拟周期薛定谔算子的安德森局域化、李亚普诺夫指数的恒正性和谱的拓扑结构等几个重要问题进行深入研究。

自上个世纪70年代以来，随机和拟周期薛定谔算子的谱理论一直是数学物理中的热点论题，其中主要有谱的分类问题，安德森局域化及李亚普诺夫指数的正性问题。本项目主要研究了：连续安德森模型Lyapunov指数的一致正性及大偏差定理；薛定谔算子的酉形式即CMV矩阵狄利克雷行列式和对应的Szegő cocycle之间的显示表达式；位势为独立同分布的随机变量时的薛定谔算子的安德森局域化；量子漫步的安德森局域化现象；带有非多项式增长性半线性Duffing方程的拉格朗日稳定性；刘维尔频率CMV算子的谱局域化和动态局域化；非回复性多项式Duffing方程的长时间有界性；概周期薛定谔算方程的可约性及绝对连续谱的存在性等。围绕这些内容，我们取得了一系列的重要成果，形成多篇论文，发表在重要国际学术期刊上。我们的研究结果对于理解谱与量子动力学行为之间的关系和非线性振动的稳定性具有重要的科学意义。