MF-代数及相关的算子代数问题

Matricial Field（MF）algebras were first introduced by Blackadar and Kirchberg in 1997 by using generalized inductive limit. In this project, we are going to analyze the structure of MF algebras. We will discuss the relation between RFD algebras, inner quasidiagonal C*-algebras and general quasidiagonal C*-algebras. Based on these research, we will consider the free products of inner quasidiagonal C*-algebras and cross products of inner quasidiagonal C*-algebras . .The second part of this project is to consider the topological free entropy dimension In 2002, D. Voiculescu introduced topological free entropy dimension. It is well- known that topological free entropy dimension of an algebra is well defined if and only if the given algebra is MF. We are going to analyze the properties of topological orbit dimension and then give more information of topological free entropy dimension by using the relation between topological orbit dimension and topological free entropy dimension. At last, we are going to discuss the similarity degree of some C*-algebras which are connected to MF property. This part is related to Kadison's similarity problem.

Matricial Field（MF）代数是Blackadar和Kirchberg在1997年利用广义归纳极限定义的。本项目将首先深入探讨MF代数的结构，并进一步分析RFD代数，内拟对角代数和一般的拟对角代数之间的关系。在此基础上本项目将分析内拟对角代数的自由积和交叉积的结构。.本项目的第二部分将研究拓扑自由熵维数。2002年D. Voiculescu引入拓扑自由熵维数 (topological free entropy dimension) 的概念。拓扑自由熵维数良定义需要C*-代数为MF代数。本项目将研究拓扑轨道维数(topological orbit dimension)的性质和取值情况，并利用其与拓扑自由熵维数的关系进一步分析拓扑自由熵维数。最后本项目将计算一些与MF性质有关的C*-代数的相似度，这部分内容与Kadison 的 Similarity Problem相关.

本项目主要研究MF-代数的结构及相关的算子代数问题。我们的研究成果主要集中在以下几方面：.一：我们成功将冯诺依曼代数中的正规算子表示成对角算子在某范数下的小扰动；.二：我们成功将数学散射理论中重要的Kato-Rosenblum定理延拓到冯诺依曼代数中；.三：通过一个新的途径，我们研究了无限半有限因子的Grassmann空间上保持迁移概率的映射（不一定是双射）的一般形式，推广了Molnar和Geher的结果。.四：我们研究了MF-代数拓扑自由熵维数，引入MF c* -Γ 性质，以及新的拓扑轨道维数，并计算满足此性质的C*-代数的新的拓扑轨道维数值；.五：已知强拟对角算子代数为内拟对角代数，我们证明了强拟对角代数的有限群Rokhlin action交叉积仍为强拟对角代数，并证明just-infinite C*-代数为拟对角代数当且仅当其为内拟对角代数，最后还计算了just-infinite 代数的拓扑自由熵维数。.六：我们成功将Voiculescu版的Berger-Shaw 定理延拓到无限半有限冯诺依曼代数中。.七：我们研究了离散群在单位C*-代数上作用的T性质，主要结果推广了群 的 T性质的相关结论。另外，文中定义了Hilbert-A-模T性质，并且证明了群作用有T性质当且仅当约化交叉积有Hilbert-A-模的T性质。.八：假设X, Y是实数域R的开子集，E是一个光滑的严格凸的、自反的、2同构自反的巴拿赫空间（特别的，当1 ≤ p < ∞ , p 不等于 2, l^p 满足这些条件）。我们研究了从向量值可微函数空间 C_0 ^p(X, E) 到 C_0^ q(Y, E)的2局部等距。我们证明了这些映射都可以写为加权符合算子。