黑洞吸积流求解的多尺度有限元方法及怪波现象研究

The black hole accretion and jet theory are the core of the black hole astrophysics，which are the important physical foundation for understanding many of the high energy astrophysics, such as active galactic nuclei, black hole X-ray binary stars, gamma-ray bursts and so on. Accretion theory also plays important roles for us to understand other astrophysical processes, such as planet formation, star formation, cooling flow clusters of galaxies,etc. Numerical simulation of theoretical astrophysics is becoming increasingly important. This project will study the multiscale finite element methods for solving astrophysical fluid and MHD equations, do the numerical simulations for black hole accretion problems, and study the rogue waves in plasma astrophysics. It will accomplish the new astrophysical numerical simulation programs to simulate complex astrophysical problems numerically, and try to reveal the black hole accretion and gas planet formation process. It will study the high-order rogue waves for the high dimensional nonlinear evolution equations in the plasma astrophysics, to reveal the dynamical behaviors of the rogue waves, and explore the existence of dark rogue waves in plasma. This is a new frontier project in computational mathematics and astrophysics, which will be of great significance for the development of the black hole accretion theory and for the studies of advanced numerical simulation methods in astrophysics.

黑洞吸积以及喷流理论是黑洞天体物理的核心，是认识许多高能天体系统, 如活动星系核、黑洞X射线双星、伽马射线暴等的重要物理基础，对理解其他天体物理过程, 如行星形成、恒星形成、星系团中的致冷流等也起着重要作用。对理论天体物理问题的数值模拟越来越重要。本项目将研究天体物理中流体及磁流体方程的多尺度有限元方法，对吸积问题进行数值模拟求解，并研究等离子体天体物理中的怪波现象。将以黑洞吸积为例子，试图完成新的天体物理数值模拟程序，对复杂的天体物理问题进行数值模拟,揭示黑洞吸积的奥秘及气体行星的形成过程；将研究等离子体物理中的高维非线性发展方程的高阶怪波问题，揭示等离子体中怪波的动力学行为；给出暗怪波在等离子中存在与否的理论依据。这是一个将数学与天体物理交叉的新兴前沿项目，是问题驱动的应用数学研究，对黑洞吸积理论的发展，以及探索新的更先进的适用于天体物理研究的数值模拟方法都具有重要意义。

项目系统研究天体物理中流体及磁流体方程组和等离子体中非线性波动现象的高维非线性演化方程求解的高效数值方法及怪波现象。设计构造了求解天体物理中流体、磁流体及多相流体方程组的几种有效的有限元、有限体积元算法；对等离子体中的描述非线性波动现象的高维非线性演化方程，建立了数值求解格式，对等离子体中怪波的动力学行为进行了模拟，并研究了等离体子体物理参数对怪波的影响。具体包括:1）研究了变密度不可压Navier-Stokes方程, 提出了基于两个局部高斯积分的两水平变分多尺度方法，建立了分步时间步长二阶BDF/AD格式的混合稳定化有限元方法; 2) 提出了Navier-Stokes 变分不等问题的变分多尺度有限元算法和两重网格变分多尺度有限元算法，研究了带有非线性摩擦边界条件且具有非线性阻尼的Navier-Stokes 问题的有限元方法; 3) 提出了求解MHD方程的基于两重网格的耦合的解耦并行校正算法; 4) 对不同介质区域流体流动耦合模型，构造了Navier-Stokes-Darcy方程非协调有限体积元离散格式，建立了多相Cahn-Hilliard-Navier-Stokes-Darcy方程解耦的能量稳定的全离散有限元格式; 5) 建立了几类高维非线性色散方程：非线性Schroedinger方程、Davey-Stewartson方程及Klein-Gordon-Zakharov方程的几种高效稳定的隐/显多步Galerkin有限元方法及谱元方法，并将算法应用到了尘埃声波的非线性传播、Bose-Einstein凝聚及怪波现象的研究; 6) 研究了等离子体物理中几种离子声波的非线性传播，得到了3+1维Schroedinger方程的怪波解，三维Schamel-Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程的激波解，Complex Ginzburg–Landau方程的耗散孤立波解及耗散激波解. 受本项目资助在国内外期刊上发表论文38篇，其中SCI论文32篇;发表IEEE国际会议论文1篇。指导研究生13人，完成博士学位论文6篇，邀请外国专家三人次，参加国际国内学术会议10个。圆满完成了项目的预期目标。这对偏微分方程数值理论的发展特别是耦合问题的求解将产生重要的影响和促进作用。