无穷维线性系统的分布混沌及相关动力学研究

Chaos, as a description of the complex of dynamical systems, has attracted the great interest of researchers due to its wide existence in nature. Although the chaos theory and its applications have been investigated extensively, the mechanism of chaos for dynamical systems is still not mature and particularly in the infinite-dimensional setting. We will study the distributional chaos and related dynamics for linear operators on infinite-dimensional spaces as well as for linear partial differential equations; and focus on the mechanism of chaos for infinite-dimensional linear systems. First, investigate the stability of distributional chaos for linear operators under linearly dependent perturbation, based on the linearity of operators; and prove that there are Devaney chaotic and topologically mixing operators which do not exhibit distributional chaos. Then, characterize the asynchronous Li-Yorke chaos and asynchronous distributional chaos in linear dynamics and construct a concrete operator for which the whole space is an asynchronous distributionally scrambled set. Furthermore, show the existence of chaos for linear partial differential equations on the Herzog spaces of analytic functions and provide some chaotic criteria for the corresponding solution semi-groups. The results obtained help to reveal the critical role of the Herzog spaces in the investigation of the chaotic dynamics of these solution semi-groups. Finally, based on the above researches on linear chaos, we will deeply study the mechanism of chaos for linear operators and for linear partial differential equations, thereby consummate the chaotic theory of infinite-dimensional dynamical systems.

混沌作为动力系统复杂性的一种刻画，普遍存在于自然界中，其理论和应用研究引起了广泛的关注。目前关于混沌产生机理的研究仍不成熟，特别是无穷维系统的混沌结果则更少。本项目研究无穷维空间上线性算子及线性偏微分方程的分布混沌及相关动力学，尤其是无穷维线性系统的混沌机理。首先，基于线性算子的线性特征，探究其分布混沌性质在线性相关扰动下的稳定性问题，证明非分布混沌的拓扑混合和Devaney混沌线性算子的存在性。其次，刻画线性算子的异步分布混沌和异步Li-Yorke混沌性质，并构造线性算子使得全空间是异步分布混沌集。第三，证明线性偏微分方程在Herzog型解析函数空间上混沌的存在性，给出线性偏微分方程解半群的混沌判据，并揭示状态空间对解半群混沌行为的本质影响。最后，在上述研究基础上，深入探讨线性算子及线性偏微分方程产生混沌的机理，以期在无穷维动力系统的混沌理论研究方面有所突破。

混沌现象在线性和非线性系统中都广泛存在。特别地，无穷维线性系统具有丰富的混沌动力学性质。本项目主要研究连续线性算子和线性偏微分方程的分布混沌及相关的动力学问题。取得的研究成果分为以下四个方面：(1)关于线性算子的分布混沌性质在线性相关扰动下的稳定性问题，给出了线性算子在线性相关扰动下能保持分布混沌的一些充分条件，得到了在线性相关扰动下能保持分布混沌（Li-Yorke混沌）性质的线性算子构成的集合在算子范数拓扑下的内部和闭包的谱刻画；构造了在线性相关扰动下能保持分布混沌的非平均Li-Yorke混沌线性算子。(2)关于线性算子的异步混沌性质，提出了线性算子的对角线分布混沌（对角线Li-Yorke混沌）概念，并证明每个可分Banach空间上都存在对角线分布混沌线性算子；构造了分布混沌线性算子使得全空间是一个对角线分布混沌集且空间中的每个非零元均是分布不规则向量；构造Li-Yorke混沌线性算子不是异步Li-Yorke混沌的。(3)研究线性偏微分方程的混沌行为。利用映射族诱导的非自治离散系统的全变差和泛函包洛两种方法，分别探讨了一类一维和二维二阶双曲线性偏微分方程在非线性边界条件下的混沌行为，给出了方程产生混沌的一些判据，并对所得结果进行了数值仿真。(4)探讨拓扑动力学在无穷维线性框架和紧致系统框架下的差异。证明线性算子的平均Li-Yorke混沌性质在拓扑共轭下不能保持下来；提出了按序列平均Li-Yorke混沌线性算子的概念，以更加精细地刻画Li-Yorke混沌、分布混沌与平均Li-Yorke混沌之间的内在关系；证明了Banach空间上线性算子的RDC1和RDC2.5-是等价的，RDC2和RDC2.5是等价的，但这两个等价性结果对紧致动力系统不成立。