Heisenberg群以及相关的幂零群上的一些分析问题的研究

This project is to develop the theory of some analysis problems on the Heisenberg group. From the concept of transversal Radon transform, we consider various inversion formulas of the Radon transforms along low-dimensional manifolds by using the methods of Garding-Gindikin fractional integration, invariant differential operators, Riesz potential, reconstruction of functions from the integrals over k-planes on the Heisenberg group. The Shilov boundary of a Siegel domain of type one is a nilpotent group and provides a natural generalization of the Heisenberg group, and the analysis on the boundary is of importance and interests in both harmonic and complex analysis. We investigate the continuous wavelet theory associated with the irreducible decomposition under the affine automorphism group for the boundary. Our purpose is to give integration formulas for the radial functions on every irreducible subspace in the decomposition, which leads us to study inversion formula by using the theory of wavelet transform. In addition, we study the Dirichlet problem for sub-Laplacian and p-Laplacian equations on the domain with rough boundary for Heisenberg group, which involves the estimates of Green functions and behavior of the solutions. Also, we are interested to the uncertainty inequalities of the Radon transforms on the group related with the estimates for the heat kernel, special functions and Hilbert-Schmidt norm of operators.

本项目是发展Heisenberg 群上的一些分析问题的理论. 由Heisenberg群上的横截Radon变换的概念出发可以引入沿低维流形上的Radon变换，应用Garding-Gindikin 分数次积分,不变微分算子, Riesz 位势, 对偶变换理论以及函数在k维平面上积分的恢复公式讨论各种形式的逆算子表达式. 一型的Siegel域的Shilov边界提供了Heisenberg 群的一个自然延拓,我们关心的是其边界上的全纯自同构群相联系的连续小波理论，通过径向函数在每个不可约子空间上的积分公式给出其考虑的逆算子公式. 此外，还研究带粗糙边界的区域的次Laplace 和p-Laplace方程的Dirichlet 问题，它涉及到格林函数和方程解的性态方面的渐近估计. 同时，由热核、特殊函数和算子Hilbert-Schmidt 范数估计，研究群上的Radon变换的不确定性不等式.

在Heisenberg群上我们应用热核的估计和次Laplacian算子的特征以及齐次群上的Taylor展开式给出了沿k-平面上的Radon变换的逆算子和小波变换的不确定原理和Hardy不等式.利用分数积分算子与Funk变换的理论给出了在Grassmann流形上的Radon变换逆公式.在乘积型的各向异性的Museilak-Orlicz-Hardy空间上的实变特征和Calderon-Zygmund算子在加权的Lebesgue空间以及Museilak-Orlicz空间上有界性问题得到了一些深刻的结果.在奇异积分与分数次积分算子的弱极限行为和Hausdorff算子在函数空间中的有界性方面取得了一些好的成果.在满足双倍和几何双倍条件的度量空间上,研究了一类Calderon-Zygmund奇异积分算子的交换子的有界性,通过证明此类算子在端点空间上的有界性,得到有界连续性质.利用解析延拓的方法研究了分数Sobolev空间,并建立了著名数学家Bourgain-Brezis-Mironescu和Mazya-Shaponshikova相关结果之间的联系.在Reifenberg平坦区域上研究了一类带VMO系数的P-Laplace椭圆方程组,通过建立其弱解的梯度的点态势估计及Sharp极大算子等调和分析技术,得到方程组的解在BMO空间及Lorentz和Morrey空间上的正则性质.另外在相关的函数空间上考虑了Stokes方程组类似的性质,研究了一类非齐次椭圆障碍问题,借助Besov空间得到此类问题解的高可微性质.对于一类非线性椭圆型障碍问题和Stokes方程组弱解极其解的梯度的点态性质,首先证明了该障碍问题近似解的存在性,然后得到解的梯度的Wolff势估计,并由此给出解的Holder连续性质.而对具有Dini-BMO系数的Stokes方程组弱解,通过建立了Campanato型衰减估计,利用Havin-Maz'ya-Wolff非线性势,得到此类方程组的弱解及其梯度的点态势估计.研究了一类分数P-Laplace方程相关的几何性质,利用活动平面法,讨论了与分数P-Laplace算子相关的Choquard方程的正解,得到其几何对称性质.