分数阶偏微分方程的高精度有限体积元方法研究

The fractional partial differential equation has widely emerged in various engineering and technology fields. Numerical solutions for these equations have become one of the hot topics in many scholars’ research recently. Until now, the common available numerical methods mainly include the finite difference method, finite element method, spectral method, series method, integral transform method and etc., however, the finite volume method on this issue has nearly been referred. This project aims to investigate the finite volume element method for solving the fractional partial differential equations by the techniques of superconvergence and others. The high accuracy finite volume element algorithm will be established together with its theoretical analysis under a new frame. Numerical tests of new algorithms will be carried out.

分数阶偏微分方程已广泛出现于工程技术领域中，其数值解的探讨成为诸多学者目前研究的热点之一．目前已有的数值算法主要涵盖了有限差分法、有限元法、谱方法、级数法和积分变换法等，但有限体积方法在分数阶偏微分方程的数值解领域很少见到．本项目旨在探讨求解分数阶偏微分方程的有限体积元方法，拟通过超收敛等技巧，设计高精度有限体积元算法，同时对相应算法建立新的理论分析框架并进行数值测试．

在该基金项目的资助下，项目组成员主要进行了如下研究工作。（1）对一维时间分数阶Caputo型慢扩散方程，基于分片二次插值逼近，建立了离散Caputo导数的一个高阶数值微分公式，对公式系数特点和局部截断误差进行了分析，数值测试了该微分公式的逼近精度，并将其应用于求解时间分数阶常微分方程、有界域和无界域上的时间分数阶慢扩散方程等，计算效果良好；（2）对一维时间分数阶Riemann-Liouville型慢扩散方程，基于一阶Grünwald公式的超收敛点，提出了时间方向二阶精度的差分求解格式，应用离散能量法证明了格式的稳定性和收敛性，并推广该思想，建立了求解二维问题的时间二阶、空间四阶紧格式，证明了相应格式的稳定性和收敛性；（3）对二维时间分数阶Caputo型对流扩散方程，时间分数阶导数采用L1离散，建立了两个空间三点六阶精度的组合紧致交替方向差分格式，借助Fourier分析方法证明了格式的无条件稳定性，数值试验测试了格式的计算效果；（4）对二维分数阶Cattaneo方程，建立了空间四阶紧交替方向差分格式，证明了格式的稳定性和收敛性；（5）对一维时间分数阶Caputo型慢扩散方程，从方程的积分守恒形式出发，时间分数阶导数采用L1 离散，建立了一类空间方向基于二次应力佳点的超收敛有限体积元格式，分析了格式的离散误差；（6）对一类非线性外延生长模型方程，基于时间方向二阶向后Euler离散，建立了三层线性化差分格式，证明了格式的唯一可解性、无条件稳定性和收敛性。. 研究成果已发表SCI论文7篇。另有1篇研究论文正在做最后润色，即将投稿。