若干数学物理问题的谱方法和配置方法研究

谱方法具有高精度，并广泛地应用于科学、工程和经济中有关问题的计算。常用的谱方法仅适用于典则型微分方程周期问题和有界矩形区域上非奇异问题的计算，从而限制了它们的应用范围。本项目研究谱方法的若干前沿与困难问题，即半直线上Laguerre函数的新正交逼近谱方法，n维空间中Hermite函数的新正交逼近谱方法，量子力学中Gross-Pitaevskii方程的全离散时间分裂Laguerre-Hermite配置法和全离散时间分裂Hermite配置法，非线性常微分方程的快速Chebyshev配置法以及滞时微分方程的Legendre配置法。这些问题的解决将拓展谱方法的基础理论，发展和丰富微分方程的数值解法，并为科学和工程有关问题的数值模拟提供一些原创性的高精度算法。

本项目的研究背景：谱方法具有高精度，并广泛地应用于科学、工程和经济中有关问题的计算。常用的谱方法仅适用于典则型微分方程周期问题和有界矩形区域上非奇异问题的计算，从而限制了它们的应用范围。.本项目主要研究内容：半直线上Laguerre函数的新正交逼近谱方法，n维空间中Hermite函数的新正交逼近谱方法，量子力学中Gross-Pitaevskii方程的全离散时间分裂Laguerre-Hermite配置法和全离散时间分裂Hermite配置法，非线性常微分方程的快速Chebyshev配置法以及滞时微分方程的Legendre配置法。.本项目的重要研究结果：提出并分析了常微分方程初值问题的Legendre和Chebyshev谱配置方法；非线性时滞微分方程的Legendre谱配置方法；双曲型偏微分方程时空双高精度的Legendre谱配置方法；半无界区域上精确拟合边界条件的Neumann问题的广义Jacobi有理谱方法；圆形和环形区域上精确拟合边界条件的Neumann问题的Jacobi谱方法；半直线上Camassa-Holm方程的Laguerre函数谱方法；Gross-Pitaevskii方程的全离散时间分裂Laguerre-Hermite配置法和全离散时间分裂Hermite配置法；n维空间中非线性波动方程的Hermite函数谱方法；正方形和圆上Lane-Emden方程多解问题的Legendre和Fourier-Legendre拟谱方法；二维外部问题的混合Fourier-广义Jacobi有理谱方法；带任意非负参数的广义Klein-Gordon方程初边值问题的配置方法；以及非线性Volterra积分方程和带消逝时滞的非线性Volterra积分方程的多步Legendre-Gauss谱配置方法。.本项目的科学意义：上述问题为当前国际上谱方法研究的若干前沿与困难问题，这些问题的解决将进一步拓展谱方法的基础理论，发展和丰富微分方程的数值解法，并为科学和工程有关问题的数值模拟提供一些原创性的高精度算法。