退化抛物方程的多重爆破与自由边界问题

Based on the suitable initial data, we first deal with the multiple blow-up for degenerate parabolic equations in the present project. By analyzing the behavior of the stationary solutions, using braid group theory and intersection comparison principle, together with scaling technique, we hope to construct some multiple blow-up solutions, which can blow up at different times and different places. Meanwhile, we show the multiple blow-up behaviour of the solutions by numerical method. Second, we consider the free boundary of solutions to inhomogeneous degenerate parabolic equations. By evaluating the effect of the variable coefficient on the behavior of the free boundary, we hope to give the sufficient conditions on the global existence and disappearance in finite time of the free boundary, obtain the regularity and the characterization of the position for the free boundary, and get the growth (decaying) estimate of the free boundary. This series of problems is one of the frontiers and difficulties of the study on the nonlinear parabolic equations, we will try our best to solve some of them in the next few years.

本项目首先在合适的初值条件下，研究非线性退化抛物方程的多重爆破问题，通过分析相关问题稳态解的性态，利用辫群理论与交点比较原理，结合scaling技巧，构造能在不同时刻、不同空间位置发生爆破的多重爆破解，并通过数值方法来探究解的多重爆破奇性；其次考察非齐次介质中具有反应项的高维退化抛物方程的自由边界问题，通过研究可变系数对交接面渐近性态的影响，给出交接面整体存在与有限时刻消失的充分条件，给出交接面的正则性及位置刻划，同时给出交接面的增长（衰减）估计。这一系列问题是非线性抛物方程理论研究中的前沿和难点之一，力争在将来几年解决其中一些尚未完全解决的公开问题。

退化抛物方程可用来描述现实世界中的大量扩散现象，是偏微分方程研究的核心内容之一。本项目主要对相关退化抛物方程解的爆破奇性、熄灭奇性、稳定态、自由边界问题进行了探讨。首先，利用比较原理和上、下解方法，给出了一类具非局部边界条件的退化奇异抛物方程的临界爆破指标，对解的整体存在与有限时刻爆破做了一个完整分类，并给出了爆破解的精准爆破速率与一致爆破模式；其次，对相关退化抛物方程的非完全爆破与多重爆破进行了研究，在合适的初值条件下，利用后向自相似爆破解和前向自相似整体解，结合scaling技巧，构造出了整体L^1解和多重爆破解，并利用Matlab对相关理论结果进行了数值验证；再次，对相关非线性抛物方程解的熄灭奇性进行了研究，运用积分估计、Sobolev嵌入定理，结合一系列常微分不等式，给出了熄灭现象发生与否的临界指标和整体解的时间衰减估计；然后，研究了一类具非线性记忆的高阶阻尼双曲系统整体解的存在性与非存在性，利用试验函数方法，结合积分估计，给出了弱解的一个爆破结果；最后，对相关抛物问题的稳定态进行了研究，利用分支理论，给出了正稳态解存在与否的条件，利用线性算子扰动理论，给出了正稳态解的唯一性结果，结合Lyapunov–Schmidt约化方法，给出了正稳态解曲线的全局分支结构。我们的研究推广和完善了之前的一些结果，在一定程度上丰富了偏微分方程领域的相关理论。同时，我们的结果能为合理解释某些自然现象提供重要理论参考，具有一定的科学意义。