退化抛物方程的非完全爆破与多重爆破研究

Degenerate parabolic equation has an extensive applied background and is one of the cores of the study of nonlinear pdes. In this project, we are concerned with the incomplete blow-up and multiple blow-up phenomena of the solutions to some classes of degenerate parabolic equations. Based on some suitable hypotheses on the initial data, by analyzing the behaviour of the stationary solutions, and combining the intersection comparison principle with the braid group theory, we hope to give a complete classification on the global existence, complete blow-up and incomplete blow-up. Moreover, by constructing appropriate peaking solution, we want to obtain some results on the global L^1 solution and multiple blow-up solution. Because of the nonlinearity and degenerateness, the previous results and methods can not be used directly to handle this kind of problem, and we shall find some new ideas and approaches to deal with it. Therefore, our methods and research results will enrich the theory of pdes, and provide precise explanations for some complicated natural phenomena.

退化抛物方程具有广泛的应用背景，是非线性偏微分方程研究的核心内容之一。本项目旨在研究退化抛物方程的非完全爆破与多重爆破现象。在合适的初值基础上，我们通过分析相关稳态解的性态，结合交点比较原理和辫群理论，给出解整体存在、完全爆破以及非完全爆破的一个完整分类。进一步，希望构造出整体L^1解及在不同时刻、不同空间位置发生多重爆破的多重爆破解。本项目拟研究的内容都是抛物方程研究领域缺乏系统分析和讨论的问题。由于非线性和退化性的同时出现，之前的一些结果和经典的分析工具不能自然地推广到此类方程，我们将根据问题的特点寻找新的研究思路。我们的研究结果和方法将在一定程度上丰富偏微分方程的理论，并对合理解释某些物理现象提供重要参考。

非线性抛物方程可用来描述现实世界中的大量扩散现象，是非线性偏微分方程的一个重要组成部分。本项目主要对退化抛物方程解的爆破与熄灭现象进行了研究。首先对一类退化奇异抛物方程解的整体存在与有限时刻爆破做了完整的分类，讨论了全局爆破现象和爆破解的爆破模式；其次，在一系列合理的条件下，利用交点比较原理和辫群理论，得到了一类退化抛物方程完全爆破与非完全爆破的临界指数，且构造出了多重爆破解。同时，对相关问题的稳态解进行了分析，证明了稳态解的唯一性与稳定性；再次，对具梯度热源和吸收项的退化奇异抛物方程解的熄灭现象进行了研究，得到了熄灭现象发生与否的临界指数和解的时间衰减估计。最后，对一类退化抛物型不等式解的爆破与生命跨度进行了研究。我们的研究推广了之前的一些结果，从某种程度来说，丰富了退化抛物方程的相关理论。