幂零Lie群上退化抛物型方程的整体解与爆破性质

研究幂零Lie群上由非交换向量场构成的非线性退化抛物型方程(组)，主要探讨退化抛物型方程和方程组整体解的存在性和爆破性质，这类方程在人类视觉的数学模型，量子物理和控制理论等诸多领域有重要应用。本项目主要讨论以下两个问题：(1)分层幂零Lie群上次椭圆抛物方程整解的存在性以及渐近行为；(2)分层幂零Lie群上具有分数阶扩散算子的退化抛物方程组的爆破性质。为得到次椭圆抛物方程整解的存在性和渐近行为，我们采用的主要技巧是不动点定理和Lie群上热算子基本解及其导函数的一致Gauss估计方法，需要解决的关键问题是建立Lie群上的热核不等式和证明一个次椭圆热算子基本解的Gauss上界。对于第二个问题，通过建立Lie群上的Ju不等式，利用齐次群上拟齐性分析方法和检验函数技巧研究退化抛物方程组的非平凡整体解，从而得到方程组解的爆破条件和临界指数。