Amenable群作用动力系统的熵、压与热力学形式

With the development of modern dynamical system and ergodic theory, researchers usually take their perspectives in the frameworks for actions by more general groups. Among them the class of amenable groups actions is one of the foci. Studies on entropy and pressure inspired by dimension theory have just started under this framework; the theory of the corresponding thermodynamic formalism has not been complete as well. In this project, we will devote to the research on entropy、pressure and thermodynamic formalism for dynamical systems acting by countable discrete amenable groups. The research will provide deeper comprehension on the geometric structure、dimensional complexity and distribution of measures of dynamical sets in dynamical systems and will also make people understand dynamic behaviors for Z or Z^d actions with wider view point.

随着现代动力系统与遍历理论的发展，人们常常把研究的视角放在更为一般的群作用之下。其中amenable群作用动力系统是人们关注的中心之一。在此框架下，以维数理论为出发点的熵和压的研究才刚刚起步，相应的热力学形式的理论也尚未完善。为此，我们将致力于可数离散amenable群作用动力系统的熵、压与热力学形式的研究，并应用于amenable群作用动力系统的维数理论以及重分形分析。本项目的研究将有助于人们深入理解动力系统的几何结构、维数复杂性以及动力学集合的测度分布，同时也将有助于人们以更广阔的视角来认识Z与Z^d作用下的动力学性态。

随着现代动力系统与遍历理论的发展，动力系统研究的视角已经被放在更为一般的群作用之下。其中amenable群作用是人们最为关注的情形之一。 我们针对可数离散amenable群作用动力系统展开研究，在可数离散amenable群作用动力系统的熵、压和热力学形式以及维数理论等方面研究取得了一系列进展。我们证明了可数离散 amenable群作用动力系统的度量均值维数与信息率-失真函数之间的变分原理，拓广了菲尔兹奖得主Lindenstrauss与其合作者Tsukamoto在整数群作用系统的相关结果；研究了可数离散amenable群作用动力系统的packing拓扑熵，证明了一个联系packing熵与上局部测度熵之间的变分原理，同时得到了关于packing拓扑熵的Bowen型熵不等式；我们还针对零熵系统引入了packing熵维数来刻画其复杂性，得到相应的变分原理。此外，我们还研究了几类来自生物数学模型的动力系统的动力学行为。.本项目的研究加深了我们对动力系统的几何结构的理解，使我们以更广阔的视角来认识系统的动力学性态以及维数复杂性的产生机制。