自由半群作用的拓扑熵、拓扑压及相关问题研究

Topological entropy and topological pressure are important topics in dynamical systems. The quantity of topological entropy is a significant clue to characterize the complexity of a system. Dynamical systems and fractal geometry are two inextricable branches in mathematics. On one hand, there are a mount of problems in dynamical systems that need the ideas and methods of fractal geometry such as multifractal spectrum to solve. On the other hand, topological entropy and pressure are used to characterize multifractal spectrum in the research of dimension theory of dynamical systems. In this project, we focus on the research of the topological entropy, topological pressure and related problems of free semigroup actions. We will solve the following problems: 1. the properties of topological entropy and topological pressure of free semigroup actions; 2. the relationships between measure-theoretic entropy and topological entropy(pressure) of free semigroup actions; 3. the research on multifractal spectrum of free semigroup actions. All these problems are popular and hard in dynamical systems. We need the techniques in dynamical systems, fractal geometry, geometric measure theory and probability theory to slove them. These problems are related to skew-product systems, dimension theory of dynamical systems and random dynamical systems, and play significant roles in both of the basic theory and applications of dynamical systems.

拓扑熵与拓扑压是动力系统中研究的核心内容之一，拓扑熵的大小是刻画系统复杂性的重要依据，动力系统和分形几何是数学中相互联系非常密切的两个分支，动力系统中有大量的问题需要用分形几何的思想和方法来处理，重分形谱的思想和方法就是其中一个代表，在动力系统维数理论的研究中，必须要用拓扑熵和拓扑压来刻画重分形谱。本项目将围绕自由半群作用的拓扑熵、拓扑压及相关问题进行研究，具体研究以下问题: 1. 自由半群作用的拓扑熵、拓扑压的若干性质； 2. 自由半群作用的测度熵与拓扑熵(压)的关系，即变分原理； 3. 自由半群作用的重分形谱的研究。这些问题是动力系统研究中的热点和困难问题，需要结合动力系统、分形几何、几何测度论及概率论等方面的思想和方法，这些问题与斜积系统、动力系统的维数理论以及随机动力系统的研究密切相关，本项目的研究无论对动力系统的基本理论还是应用前景都有重要意义。

在动力系统的研究中，复杂性的刻画是一个重要的研究方向，拓扑熵和拓扑压是刻画系统复杂性的重要指标，半群作用的系统是一个新的领域，随着动力系统研究的不断深入，这种系统越来越受到人们的重视，已成为动力系统中新的研究热点之一。本项目主要围绕自由半群作用的拓扑熵、拓扑压及相关问题进行了探索和研究，引进了若干新概念，得到了一系列新的结果，具体如下:.首先，针对自由半群作用的系统，1. 引入了非紧集的拓扑熵、上（下）容度拓扑熵，给出了它们的性质，针对上容度拓扑熵，给出了该系统与相应的斜积变换系统的关系；给出了非紧集拓扑熵的估计；针对Lipschitz映射，给出了非紧集拓扑熵和Hausdorff维数的关系。2. 引入了一些类周期点、局部回复水平集的概念，在一定条件下，证明了几种间隙集和非正则集具有满的上容度拓扑熵；证明了任意非空开集与局部回复的水平集之交也具有满的上容度拓扑熵。3. 引入了拓扑r-熵的概念，证明了当r趋于0时，拓扑r-熵的极限等于拓扑熵；证明了当映射都是同胚时，拓扑熵等于逆映射系统的拓扑熵。4. 引入并研究了拓扑熵对。 5. 研究了由真映射生成的自由半群作用的拓扑熵；当空间是局部紧可分度量空间时，给出了拓扑熵的部分变分原理。.其次，研究了自由半群作用的若干动力学性质；还针对由一般拓扑半群作用的系统，进行了深入研究，得到了一系列结果。.注：我们还引入了自由半群作用非紧集的两种拓扑压、上（下）容度拓扑压，给出了它们的性质；利用由这种拓扑压描述的Bowen方程来刻画系统里某些非紧集的Hausdorff维数，这些成果于2021年在线发表在J. Dyn. Differ. Equ.；针对由真映射生成的自由半群系统，引入了非紧集拓扑熵；针对重分形谱，给出了该系统与其相应的一点紧化空间构成的系统之间的关系，该成果于2021年在线发表在Taiwanese J. Math.。