基于同时置信带方法的分布函数统计推断

Statistical inference for cumulative distribution functions (CDFs) has been an important theoretical and practical issue in probability and statistics, while simultaneous confidence band (SCB) is an extremely powerful tool for making inference on the entirety of an unknown curve with quantifiable error probability. Yet the literature studying SCBs for making inference on CDFs has been rather scarce. This project aims to combine two of them. For survey sampling data and unobserved error data, kernel and spline estimations are applied to construct estimators of the finite stratified population CDF, the error CDF in nonparametric regression and functional data error CDF together with corresponding SCBs. We are to prove theoretically that the coverage probabilities of the proposed SCBs asymptotically equal the nominal confidence level. These results serve as solid theoretical basis for global inference on CDFs and further study of other statistical topics such as quantile estimation, prediction and value at risk.

分布函数的统计推断一直以来都是概率统计学一个重要且具有实际应用价值的研究问题。而同时置信带是在一定的错误概率下对未知函数进行整体统计推断的一种强有力的工具，但目前较少有文献借助同时置信带方法研究分布函数的统计推断。本项目期望将分布函数的统计推断与同时置信带方法相结合，针对抽样调查数据及不可观测误差数据，运用核函数和样条函数估计方法，构造分层抽样下有限总体分布函数、一般非参数回归模型中误差分布函数、函数型数据回归模型中误差分布函数的连续核分布估计量及相应的光滑同时置信带，并从理论上论证所构造的同时置信带的覆盖率渐近等于预先给定的置信水平。所得结果不仅为分布函数的整体统计推断提供可靠的理论依据，而且为后续的分位数估计、模型预测、风险价值（VaR）等相关统计问题的深入研究奠定理论基础。

分布函数的统计推断一直以来都是概率统计学一个重要且具有实际应用价值的研究问题,而同时置信带是在一定的错误概率下对未知函数进行整体统计推断的一种强有力的工具。本项目将同时置信带方法有效运用到分布函数的统计推断中。针对分层抽样下有限总体分布函数、一般非参数回归模型和函数型数据回归模型中的误差分布函数，我们着重给出了这些分布函数的核分布估计量，并在一般假设条件下，通过理论证明获得了这些估计量与其真实分布函数之间估计误差的渐近性质与极限分布，从而成功构造了分布函数的渐近精确同时置信带，并给出了具体实施方法。与此同时，大量数值模拟分析证实了理论渐近结果，显示所构造的同时置信带的覆盖率渐近等于事先给定的置信水平。进一步的实例数据分析表明我们所提出的同时置信带方法用于分布函数的统计推断具有一定的实用价值。此外，我们基于预测残差构造了时间序列AR模型的多步向前预测误差分布的具有默示有效性的核分布估计量，进而得到了预测误差分布的分位数的有效估计，成功构造出了能够渐近达到预先给定的置信水平的AR模型下多步向前预测区间。作为拓展研究，我们构造了协变量部分缺失情形下非参数回归函数的同时置信带。本项目的主要研究结果不仅为分布函数的整体统计推断提供了可靠的理论依据，而且对分位数估计、模型预测以及同时置信带方法的深入研究与应用奠定了良好基础。