有限维空间凸体的Banach-Mazur距离等不变量

This project is aimed at studying several affine invariants of convex bodies in finite dimensional spaces, such as the Banach-Mazur distances, the meausres of asymmetry, volume ratios and related geometric inequalities etc, which concerns with several on-going active research fields, e.g. the Local Theory of Banch spaces, Morden Convex Geometric Analysis, Brunn-Minkowski Theory and the Approximation Theory of Convex Sets etc..The goals of the research are to tackle with some long-standing problems such as the best upper bounds of Banach-Mazur distance between convex bodies and the corresponding extreme bodies, the minimal volume problem of convex bodies of constant width and Mahler conjecture etc: finding the best bounds of some affine invariants and the relations between them, in particular, between the p-measures of asymmetry discovered recently and the B-M distance; setting up the relation between the B-M distance and the almost doubly stochastic and permutation matrices with the help of the " method using affine function family" and the fixed point theory of set-valued maps, which will also be used to handle with the open problems mentioned above. Also some geometric inequalities concerning volumes, mixed volumes and other affine invariants will be built up. Along the research, besides solving concrete problems, we are as well looking forward to forming a systematic analytic method in convex geometric analysis..This project concerns with very active fields of research nowadays in geometric and functional analysis, so the setting-up and fulfillment of the research are obviously significant.

本项目研究有限维空间上凸体间的Banch-Mazur距离（简记B-M）、凸体非对称度、体积比等Banach空间局部理论与凸几何分析中极其重要的一些仿射不变量的基础性质及相关的几何不等式。研究内容涉及Banach空间局部理论、现代凸几何理论、Brunn-Minkowski理论、凸集逼近理论等多个研究领域。.目标是尝试解决B-M距离的最佳上界、常宽体中的最小体积体和3维Mahler猜测等公开问题：确定若干几何不变量的确界、研究新近发现的p非对称度等与B-M距离的关系；采用"仿射函数族法"、"集值映射不动点理论"方法，建立B-M距离与类双随机扰动矩阵之间的关系及若干有关体积、混合体积的几何不等式并由此对上述公开问题进行研究。在逐步解决问题的同时形成一套较系统的凸几何的分析研究方法。本项目研究的问题与理论是当今十分活跃的研究领域，所以本项目的立项与完成具有重要的理论意义与价值。

本项目研究有限维凸体的性质，特别是相关几何仿射不变量的基础性质及相关的几何不等式，以及凸集上各类映射的性质。取得了较好的研究成果：发现了新的非对称度；得到了几种不同非对称度在等宽体（简约体）类中的分布情况；系统研究了Banach-Mazur距离各种不同定义的等价性，为最终解决最佳上界估计问题提供了基础；推广了一些已知的几何不变量；发现了凸性的另外一种推广形式，研究了凸集上多类算子/映射及其不动点性质等。形成了一套利用分析学工具研究几何问题的方法，为今后进一步的深入研究工作打下了良好的基础。具体的.证明了p-非对称度具有比较典型的性质，特别是证明了两个凸体的乘积凸体和协乘积凸体的p-非对称度与原来两凸体的非对称度之间具有确定的关系。这些性质暗示p-非对称度或许是某一类所谓凸体“拟赋值”的典型代表；发现了凸体的对偶平均Minkowski非对称度、并证明了此非对称度确实是平均Minkowski非对称度的对偶概念。发现了p-非对称度与L_p-混合体积之间的关系，从而利用Orlicz-混合体积作为工具，提出了凸体Orlicz-非对称度的概念，并证明了其与p-非对称度具有几乎一样的性质；给出了等宽体类上p-非对称度、Minkowski非对称度的分布及相应的极值体（即使非对称度取得最大或最小值的凸体）；证明了在一般n-维等宽体类中1-非对程度最大的等宽体就是体积最小的等宽体。证明了常见的几种Banach-Mazur距离不同形式定义的等价性，并给出了一个没有显含仿射映射的等价描述。通过引进凸体“非单形度”的概念，给出了单形与一般凸体之间Banach-Mazur距离最佳上界的一个精确估计；在Banach-Mazur距离下，四面体逼近一般多面体时，处于“最佳位置”的条件。.证明了严格凸简约体的任何一个端射线方向都是宽度方向。在平面上，建立了Orlicz差体的Rogers-Shephard不等式。研究了凸集上非扩张、渐近非扩张、伪压缩、渐近伪压缩、Lipschitz伪压缩、渐近半伪压缩等特殊自映射、非自映射不动点的存在性条件，及各种不同逼近迭代列的强弱收敛性。.培养10名硕士研究生，在已经毕业的7名研究生中，3人考取了博士研究生。