随机微分方程的仿射周期解

The existence of stochastic periodic solutions is not only one of the central topic in the study of stochastic dynamical systems, but also thought to be a challenging problem. In this project, we intend to study the existence, uniqueness and asymptotic stability of stochastic affine periodic solutions. Law of large numbers in stochastic affine periodic case will be given to obtain the existence of stochastic affine periodic solutions in distribution, which is also a weak Halanay criterion. Stochastic affine periodic LaSalle type stationary oscillation principle will be established. Classical Lyapunov method will be applied to obtain some brief criterions. Wong-Zakai type approximations will be developed to obtain the existence of affine periodic solutions for dissipative Stratonovich type stochastic differential equations.

随机周期解的存在性既是随机动力系统研究中的核心问题之一,同时也被认为是具有挑战性的问题.在本项目中,我们将对随机仿射周期解的存在唯一性和渐进稳定性进行研究,给出随机仿射周期情形的大数定律,也就是弱的 Halanay 准则,来得到随机仿射周期解的存在性.我们将建立随机仿射周期情形的 LaSalle 型平稳振荡原理,并应用 Lyapunov 方法,给出一些简明的判别准则.我们将发展 Wong-Zakai 型逼近方法,来得到耗散 Stratonovich 型随机微分方程仿射周期解的存在性.

自 Poincaré 引入周期解的概念, 周期解的存在性一直是动力系统研究的重要问题之一. 为此, 许多学者都致力于给出系统周期解及其他具有特殊常返性质的解存在的充分性条件. 而对于自然界中普遍存在的随机现象来说, 系统经过随机扰动, 周期解的存在性是否还能保持也是人们普遍关心的问题. 在本项目中, 我们针对随机系统, 以具有周期时空结构的特殊解为研究对象, 给出了随机系统分布意义下仿射周期解的定义; 发展了 Wong-Zakai 型逼近方法, 从而可以将确定型系统中的经典方法引入随机动力系统, 并通过这种逼近方法研究了随机耗散系统分布意义下随机周期解的存在性, 验证了随机情形的 Levinson 型猜想; 建立了随机仿射周期情形的 Halanay 准则和 LaSalle 平稳振荡原理; 另外, 我们还通过上下解和比较原理, 研究了带跳的随机泛函微分方程、平均场随机微分方程、随机格点微分方程分布意义下周期解的存在性. 项目所取得的研究成果目前已被接受或发表在《J. Differential Equations》、《J. Stat. Phys.》、《J. Dynam. Differential Equations》、《Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B》、《Stoch. Dyn.》等国际著名期刊杂志上.