两类分段光滑系统的仿射周期解

Affine-periodic solution (APS for short) is a new developed topic in the field of dynamical systems. The space symmetry of APS can make us avoid the small amplitude requirement, hence, the dynamical properties of near-integrable hamiltonian systems under a large perturbation can be discussed. Obviously, the study of APSs is very important to the theory of periodic solutions.. In this project, we will consider piecewise-smooth impulsive systems and timescale systems by using Lyapunov function, semigroup theory and fixed-point theory. The existence and stability of APSs will be discussed. The existence of APSs on functional differential systems and differential inclusion systems is an development of the existence theory of APSs on continuous systems. It will be a meaningful improvement of APS theory. Also, we will work on the stability of APSs on impulsive differential systems, which has not been discussed yet as far as we know. The stability condition will be proved, and the structure of bifurcations will be established. We expect that our results can improve the former APS theory and make us more familiar with its dynamical properties.

仿射周期解是动力系统领域近年来刚刚被发现的一类新的研究对象。其独特的空间对称性使得当我们研究仿射周期解时，可以不受经典理论中小除数问题的限制，从而能够对大扰动下的近可积系统的动力学性质进行讨论。因此有关仿射周期解性质的研究对于现有的周期解相关理论具有十分重要的意义。.在本项目中，我们拟利用Lyapunov函数、半群理论、不动点理论等方法，讨论分段光滑的脉冲和时标这两类不连续系统，研究上述系统中仿射周期解的存在性与稳定性问题。前者针对泛函微分系统以及微分包含系统，是现有的连续系统上的存在性结果在不连续系统中的推广，对现有的仿射周期解理论是一个十分有意义的补充。后者针对脉冲微分系统，我们拟提出这类系统上仿射周期解的稳定性判别条件，并分析其分支结构，目前在这方面据项目申请人所知还没有相关的结论。我们希望通过本项目的研究成果，可以丰富现有的仿射周期解理论，并帮助人们更深刻的理解其动力学性质。

本项目以脉冲系统以及时标系统为背景，讨论了这两型分段光滑系统上仿射周期解的一些关键问题。利用Lyapunov函数、不动点理论、同伦方法等工具，我们在带有脉冲条件的微分系统上建立了仿射周期解的存在性定理，这部分结果与申请人之前在时标上的工作结合，对分段光滑系统上仿射周期解的存在性这一基本问题给出了较为完整的回答。同时在带有脉冲条件的泛函微分系统、微分包含系统以及时标泛函动力学方程上，我们同样建立了仿射周期解的存在性定理。我们还讨论了低维的碰撞系统，研究了此类系统的结构稳定性问题。上述结果一方面加深了我们对周期解理论的认识，扩充了现有的仿射周期解的理论体系，另一方面也为后续进一步的讨论提供了研究基础。