Hessian 型完全非线性偏微分方程中的若干问题

Hessian type equations are one of the most significant contents in the research of fully nonlinear partial differential equations. Many problems in differential geometry, complex geometry and the geometry of convex bodies often result in the research on the Hessian type fully nonlinear partial differential equations. In the project, we will combine geometric techniques and analytic techniques of nonlinear partial differential equations to research some problems in Hessian type fully nonlinear partial differential equations. The research contents include prescribed mixed area measure problems，convexity of solutions for the homogeneous Dirichlet problems of k-Hessian equations in the bounded convex domains and a priori estimates of a class of Hessian type fully nonlinear equations etc. We hope to provide some new views and techniques for the fully nonlinear Hessian equations and the corresponding problems in differential geometry, complex geometry and the geometry of convex bodies.

Hessian型方程是完全非线性偏微分方程研究的最重要内容之一，微分几何，复几何，凸体几何中的许多问题经常归结到对Hessian型完全非线性偏微分方程的研究。本项目旨在综合利用几何技巧和非线性偏微分方程的分析技巧来研究Hessian型完全非线性偏微分方程中的一些问题，其内容涵盖有预定混合面积测度问题、有界凸区域上k-Hessian方程齐次Dirichlet问题解的凸性、 一类Hessian型完全非线性方程解的先验估计等。我们希望对完全非线性的Hessian型方程自身及相应微分几何，复几何和凸体几何中的问题提供一些新的观点与技术。

Hessian型方程是完全非线性偏微分方程研究的最重要类型之一，微分几何，复几何，凸体几何中的许多问题经常归结到对Hessian型完全非线性偏微分方程的研究，其中的Monge-Ampere方程是最重要的代表，亦是最重要的完全非线性偏微分方程。本项目主要研究了有界凸区域上Hessian方程齐次Dirichlet问题解的凸性、预定混合面积测度问题、 一类Hessian型完全非线性方程解的全局行为，先验估计等。 特别是对欧氏空间一类Monge-Ampere方程det(D^2 u)=f(u) ，给出特定辅助曲率函数，建立了一个微分不等式，利用极值原理得到相应估计式，给出了解的水平集的高斯曲率和平均曲率的上界估计，推广了文章“Chuanqiang Chen, Xi-Nan Ma, Shujun Shi, Curvature estimates for the level sets of solutions of the Monge-Ampere equation det(D^2 u)=1 , Chinese Annals of Mathematics B, 35(2014), 895-906” 的结果，并进一步推广到流形上。对一类几何中的完全非线性方程σ_k (vD^2 v+1/2 |∇v|^2 I)=h(x) v^α ，在一定条件下获得解的全局行为的刘维尔型定理。