完全非线性几何偏微分方程

The primary goal of this proposal is to understand some fully nonlinear partial differential equations and related problems in geometry. It focuses on curvature type equations, Plateau-type problems of finding in complete hyper surfaces of constantcurvature and foliations in asymptotically hyperbolic manifolds and in particular hyperbolic spaces, and problems of isometric embeddings. Progress in these problems will lead to understanding of other problems in nonlinear PDE and geometric analysis.

该项目主要研究目标是深入理解一类完全非线性偏微分方程和相关的几何问题。研究的重心将放在一类预定曲率型偏微分方程上，对应的几何问题主要包括在渐近双曲流形,特别是双 曲空间中寻找完备的常曲率超曲面和相应的叶状结构的柏拉图型问题，以及等距嵌入问题。这些研究的进展等够推动对非线性偏微分方程和几何分析中其他相关问题的进一步理解。

本项目研究非线性偏微分方程和相关的几何问题，流体力学中常见微分方程整体解的存在性和大时间渐近行为，相对论弦的大初值整体解存在性。具体包括双曲空间中完备超曲面的曲率流、$ H^2$在$ R^{2,1}$中的等距嵌入进行分类的问题、一类在证明Gauduchon猜想中提出的完全非线性二阶椭圆方程、流体力学中经典方程组的整体解存在性和大时间渐近行为、 相对论弦的大初值整体解存在性等方面。（1）对于双曲空间中完备超曲面的曲率流，我们证明了在整个过程中，超曲面的渐近边界保持不动, 同时在一定条件下证明了解的长时间存在性和收敛性。对于$ H^2$在$ R^{2,1}$中的等距嵌入，我们证明解的图像是完备的，从而决定$ H^2$在$R^{2,1}$中的等距嵌入。我们还给出了在证明Gauduchon猜想中提出的完全非线性二阶椭圆方程的二阶内估计。（2）对于带有滑移边界条件的三维有界区域和外区域上的（带有位势外力）等熵流粘性正压可压缩Navier-Stokes 方程，在初始小能量的条件下，我们证明了整体解的存在性和唯一性，并给出了解的大时间渐近行为。其次，我们研究了具有外压边界条件的一维可压缩NS方程组强解存在性。在一些适当的假设下，我们得到了体积和温度的一致有界性，由此证明了强解的局部和全局存在性。此外，我们还给出了定态全局强解的收敛性及其收敛的非线性稳定性。这个工作改进了Nagasawa之前相关的结果。进一步地，我们探讨非线性导热系数与可能退化的温度的正幂次成正比且具有无应力边界条件常粘性的一维可压缩NS方程组解的渐近性态，此类方程组揭示了绝热端处于真空中的粘性导热理想多变气体的运在得到气体的体积和温度的一致有界性后，我们证明了该方程组的解与常导热情况下的解具有相同的大时间行为。最后，对于具有非滑移或滑移边界条件的三维外区域上且有密度相关粘度的非齐次Navier-Stokes方程。我们证明了在初始速度梯度适当小的情况下，强解在时间上是全局存在的。此外，我们还得到了强解随时间变化指数衰减的大时间行为。（3）我们研究了1+1维情形的相对论弦方程，得到了平凡解和平行波解大扰动整体解。 所得到的大解存在于整个时空，而不仅仅是一个狭小光带。特别的，我们选取了适应于与平行波背景解的规范，得到了一个等价的系统，精确的反应了弦的内蕴几何结构，从而使我们能够得到非平凡解的大扰动整体解。