一类Hessian方程解的凸性研究

The geometric properties of solutions are the fundamental problems in the theory of partial differential equations. As one of the most important geometric properties, convexity has been an issue in the study of elliptic partial differential equations for a long time. In this project, the main research problem is the convexity of solutions for a class of Hessian equaitons. We hope to obtain the convexity descriptions and curvature estimates of the level sets of the solutions and the convexity estimates of the solutions themselves. For the different Hessian equations, we will look for the particular auxiliary functions of curvature and convexity estimates, build up the differential inequalities of the auxiliary functions, and describe that the functions attain their maximum or minimum on the boundary. We plan to get the specifically geometric information, especially convexity, of the solutions to partial differential equations to be researched through the given boundary conditions and the results we will obtain for the auxiliary functions.

解的几何性质是偏微分方程理论中的基本问题，而凸性作为一个重要的几何特征，长期以来一直是偏微分方程研究中的重要主题。本项目的主要研究对象是Hessian方程解的凸性。利用经典的极大值原理给出水平集的凸性刻画，曲率估计，解本身的凸性估计，对于不同Hessian方程寻找其特定的曲率或凸性估计函数，建立其满足的微分不等式， 描述给定辅助函数的最大值或最小值在边界达到。通过边界给定的已知条件和获得的辅助函数的结果，得到所研究偏微分方程的解的具体的几何信息,特别是其凸性信息。

本项目研究了有界凸区域上椭圆偏微分方程解的凸性，特别是Hessian 方程。 首先得到与拉普拉斯算子有关的一类半线性椭圆方程解的凸性估计，找到合适的辅助函数，建立微分不等式，利用极值原理和形变方法给出解的幂凹性的新证明，该结果发表于2014年SCI杂志Journal of Mathematical Analysis and Applications 的414卷上。在本项目执行期间, 虽然对流形上的格林函数凸性的研究未取得实质进展, 但是对欧氏空间的情形，加强了格林函数的奇性部分估计和高维时的凸性估计，最终结果已在线发表在SCI杂志Calculus of Variations and Partial Differential Equations 上。 在对 \sigma_2 方程的研究中，由于计算过于复杂，未能按预定想法找到合适的条件，以便建立解的凸性估计，但在以后的研究中希望能够利用已有的计算经验，找到合适条件而建立相应结果。此外，在本项目研究中对欧氏空间中的Monge-Ampere方程先期得到的结果进一步完善，更好的得到解的水平集高斯曲率和平均曲率的上界估计，结果最终发表于2014年国内SCI杂志Chinese Annals of Mathematics B 的第35卷第6期上。对这一结果在常曲率黎曼流形，即空间形式上的推广也已得到初步结果。