关于Hessian型几何非线性方程的研究

This project is focusing research centered around the Hessian type geometric nonlinear PDEs. There are mainly two-folds: the first part is based on applicant's Ph.D.'s work. We aim to continue on the study of the long time behavior of the inverse sigma_k flow and its related questions such as inverse sigma_k equations, the study of Kahler cone. The second part studies the Hessian type equations appeared in conformal geometry. It could be used to derive some sphere theorems with integral curvature conditions. We further explore its application in problems concerning the Q-curvature and the k-positive Ricci curvature.

本项目围绕Hessian型几何非线性方程展开研究。主要分为两个部分：第一部分是在申请人博士工作的基础上，继续深入研究Kahler流形上Inverse sigma_k flow长时间渐进行为以及相关的Inverse sigma_k方程，Kahler锥等问题。第二部分是研究共形几何中的Hessian方程，并由此得到一些具积分曲率条件的球定理，更进一步地还要探究这类方程在Q-曲率，k-positive Ricci曲率问题上的应用。

本项目主要围绕流形上若干非线性方程的研究，及其几何应用。项目重点关注了球面上带锥点度量的若干问题。带锥度量是近几年几何分析领域里的热点问题，她是著名的丘-田-唐纳森猜测的解决里的核心概念。曲面的带锥点度量可以认为是这个概念的复一维情形，处于共形几何和复几何的交叉点。.在本项目中，我们探究了带锥点球面上的单值化定理。首先，在具有正常数曲率度量的带锥点球面的模空间里，我们刻画了锥点个数从n个点过度到2个点的极限行为。这为后续的工作提供了一些分析基础。其次，已知带锥点球面并不总是具有正常数曲率度量的，这对应于多个点临界以及上临界情形。在这两种情况下，我们找到了最拼挤度量。所谓最拼挤，就是曲率的最小值和最大值之比尽可能接近1。此外，我们还计算了带锥点球面的最小体积。.本项目还得到了共形紧爱因斯坦流形上的一类不等式。这个不等式联系了共形无穷远边界Yamabe 常数和共形紧化之后的带边流形的Yamabe常数。 一个特别有趣的应用是共形紧爱因斯坦流形刚性的一个简单证明。