三维分段光滑ODE系统不连续性诱导的若干分岔现象研究

Piecewise smooth ODE systems has extensive science and engineering application background and important theoretical significance. This project will focus on three -dimensional piecewise smooth ODE systems with only one dicontinuity boundary and investigate the bifurcation behaviors of invariant sets having intersection points with the discontinuity boundary as the parameter varies. With studying three-dimensional piecewise linear ODE systems as the entry point and the symbol dynamical theory and the topological horseshoe theory as the tools, various discontinuity-induced bifurcation phenomena and the existence of chaotic attractor will be studied by constructing the Poincaré map of the systems using flexibly the new ideas in constructing the zero-time discontinuity map and the Poincaré-section discontinuity map. This project will try to develop some general methods and techniques for studying three-dimensional piecewise smooth ODE systems and understand some mechanism of discontinuity-induced bifurcation phenomena. To provide some theory and method for explaining some bifurcation behaviors happened in real models and designing some chaotic circuits by switching control, the project will also try to give some conclusions on determining the occurrence of chaotic behaviors.

分段光滑ODE系统具有广泛的科学和工程应用背景以及重要的理论研究意义。本课题以含单个不连续边界的三维分段光滑ODE系统为研究对象，探讨系统与不连续边界有交点的不变集随着参数的变化可能经历的动力学分岔行为。拟以研究三维分段线性ODE系统为切入点，通过灵活运用最新的不连续性诱导的零时间映射（ZDM）和不连续性诱导的Poincaré- 截面映射（PDM）的构造思想来构造系统的Poincaré 映射，进而运用符号动力学和拓扑马蹄理论研究系统的若干不连续性诱导的分岔现象以及混沌吸引子的存在性。本课题拟发展一些用于处理三维分段光滑ODE系统的通用方法和技巧，拟弄清楚该类系统的某些分岔机理，给出若干判定系统混沌性的定理，为解释现实模型中观察到的某些分岔现象和利用切换控制设计和实现混沌电路提供理论依据和方法指导。

本项目主要以含单个不连续边界的三维分段光滑ODE系统为研究对象，探讨该类系统与不连续边界有交点的不变集的存在性以及参数的变化所带来的各种动力学分岔行为。目前已经取得的重要结果主要有以下几个方面：. 一、周期轨方面. 给出了具有两个子系统的一般平面分段线性系统周期轨存在的代数条件，并用该条件解决了有关周期轨的存在性、个数以及分岔方面等问题，包括系统具有结点-结点型、焦点-焦点型、鞍点-鞍点型以及各种混合型动力性态时的相关问题。. 在三维分段线性系统周期轨的存在性方面也取得了很大的进展，对某些类型的三维系统给出了周期轨存在的充要条件，并且发现对某些三维系统孤立的周期轨（即极限环）存在于不变柱面上。. 二、不变锥面. 得到了一般的具有两个子系统的三维分段线性齐次系统不变锥存在的代数条件，应用该代数条件得出一般系统中不变锥的最大个数不少于4，并且解决了某些特殊类型系统不变锥的存在性及最大个数问题，给出了不变锥存在的充要条件。. 三、不变柱面. 在某些非齐次三维分段线性系统中发现了不变柱面的存在，并且给出了不变柱面存在的充要条件以及不变柱面上周期轨以及极限环存在的充要条件. 四、同宿、异宿轨和环的存在性. 得到了一般的三维分段线性系统同宿轨（环）以及异宿轨（环）存在的充要的代数条件，并且得出这些特殊的具有重大意义的不变轨道的存在性（包括唯一性以及无数多个同时存在）与不连续边界上crossing区域以及sliding区域之间的位置关系。... 科学意义：所得到的决定各类不变集存在性的代数条件不仅可以用来得到某些系统不变集存在的充分甚至充要条件，进而用于探讨各类分岔现象的机理，而且为从数值上完全解决三维分段线性系统各类不变集的存在性和个数问题提供了理论支持并且保证了其可能性。为理解和解决非光滑动力系统中各类复杂现象，尤其是混沌现象的机理奠定了理论基础，提供了思想和方法指导。