分段光滑动力系统的周期轨分岔和同宿分岔

Stimulated by the development in applied science and engineering, such as mechanical engineering and control theory, the study of piecewise smooth (PWS) dynamical systems has become an hot subject in recent years because there are many problems from real world applications involve collision, grazing and devices with switching components. The variety of the forms of non-smoothness increases the difficulties of the investigation of bifurcation phenomena in PWS systems, including the computation and estimation of the Poincaré map. Moreover, due to the non-smoothness, PWS systems often exhibit very complicated nonlinear phenomena that are not possessed by smooth systems. This project aims to the bifurcation of periodic orbits and homoclinic bifurcation induced by the non-smoothness in some typical PWS systems, such as vibro-impact systems and Filippov systems. The main goals of this project are: (1) to study bifurcations of grazing periodic orbits that tangent to the switching manifolds and sliding periodic orbits that partially overlap the switching manifolds of PWS systems; (2) to investigate the persistence and bifurcations of degenerate homoclinc orbits of high dimensional PWS systems under the perturbation in infinite dimensional space, discuss the changes of the number of linearly independent homoclinc orbits; (3) to study the Smale horseshoe chaos and strange but nonchaotic attractors for quasi-periodically excited PWS systems with homoclinic orbits; (4) by using the rank one attractor theory to study the geometric structures of homoclinic tangles in one degree freedom of periodically excited vibro-impact systems with homoclinic orbits that intersect the impact surfaces transversally.

由于许多实际问题涉及碰撞、擦边以及切换，在工程力学、工程控制等学科推动下，对分段光滑动力系统的研究已成为近年来的一个热点。各种非光滑情形给系统分岔问题增加了很大困难，包括对Poincaré映射的计算和估计，甚至使系统出现光滑动力系统完全不发生的现象。本项目拟研究在应用中典型的碰撞振动系统和Filippov系统由于非光滑性导致的周期轨分岔和同宿分岔，重点研究自治扰动下与切换流形相切的擦边周期轨和与切换流形部分重合的滑动周期轨的分岔；研究对高维分段光滑系统退化同宿轨在无穷维空间中进行扰动后的保持性和分岔，讨论扰动系统的线性无关同宿轨的个数的变化；研究同宿轨在拟周期扰动下产生的Smale马蹄混沌和奇怪非混沌吸引子；利用秩一吸引子理论研究单自由度碰撞振动系统的与碰撞面横截相交的同宿轨在周期扰动下同宿缠结的几何结构。

在工程力学、工程控制等学科推动下，对分段光滑动力系统的研究已成为近年来的一个热点。各种非光滑情形给系统分岔问题增加了很大困难。本项目围绕分段光滑系统的周期轨分岔和同宿分岔问题进行了细致研究，取得了一系列的研究成果：(1) 讨论了一类非线性倒置单摆在拟周期扰动下的同宿分岔和混沌, 以及一类以相交于原点的有限多条射线作为不连续集的平面不连续系统在周期扰动下的异宿分岔现象，建立了相应的Melnikov 方法。 (2) 考虑了非线性分段光滑系统同宿分岔产生极限环的问题。通过在双曲鞍点附近建立Dulac映射，得到返回映射的估计。给出了同宿轨稳定性条件，及由同宿轨分岔出一个和两个极限环的条件。(3) 研究了一类双线性系统的退化擦边分岔问题。该系统的Poincare截面不连续映射的正规形是退化的，不能用于研究所考虑的问题，我们采用的是数值模拟的方法。结果表明这类擦边分岔的动力学行为比非退化的擦边分岔要复杂的多。这一结果有助于对退化擦边分岔问题的理论研究。(4) 分段光滑系统的擦边和滑动周期轨分岔的Poincaré映射是不连续的或连续但不光滑的，讨论了这些Poincaré映射所诱导出的一类线性-非线性非光滑映射的周期轨道问题，特别是讨论了其加周期分岔现象，给出了周期轨存在及稳定的参数条件，讨论了这些周期轨的倍周期分岔和鞍结点分岔现象和这些周期轨的Farey树结构；对这类映射的更一般形式， Glendinning讨论了含有一个间断点的分段单调映射的异于倍周期分岔导致混沌的新的通向混沌的一个重要的路径，即由无穷多个非谐和（anharmonic）周期轨序列通过一系列边界碰撞分岔和倍周期导致混沌，我们首次研究了这类分岔问题的分岔参数的计算和标度因子问题。(5) 讨论了一类以相交于原点的有限多条射线作为不连续集的平面分段光滑系统的非双曲极限环分岔现象， 利用Melnikov 函数法讨论了该非双曲极限环的稳定性和分岔出来的极限环的个数。(6) 研究了一类光滑性较差的无穷维动力系统中弱双曲流形的逼近问题，研究了一类重要的非光滑动力系统，即随机动力系统的中心流形问题。