四维分段光滑ODE系统奇异环与混沌的存在性研究

Chaos as a complicated and interesting phenomenon exists in real systems and engineering systems extensively, thus the investigation of chaos is of great significance and application value. This topic researches on the existence of singular cycles and chaos for four-dimensional piecewise smooth ODE systems. Firstly, studying the four-dimensional piecewise affine ODE systems with a single switching manifold as an entry point. We intend to give some criteria to ensure the existence of singular cycles that cross the switching manifold transversally by the study of combing ways of stable manifolds and unstable manifolds of the subsystems. Based on the results above, choosing proper crossing sections in a neighborhood of the singular cycle and then construct the Poincaré map, analyze the Poincaré map assisted by the virtue of symbolic dynamical theory and topological horseshoe theory thus give the theorems on the existence of the chaotic invariant sets for the four-dimensional piecewise affine ODE systems. Secondly, linearized at the relative equilibrium points base on Hartman-Grobman theorem then the ideas above can be extended to the piecewise smooth ODE systems. In addition, we intend to study the bifurcations of the chaotic invariant sets by analyzing the expressions of the Poincaré map. The topic is intend to figure out the essence of the chaos, provide some criteria to verify the chaotic property of systems and give some mathematical methods to construct chaotic systems.

混沌现象作为一种复杂有趣的动力学现象广泛存在于各种实际系统和工程系统中，因此对混沌现象的研究具有重要的理论意义和应用价值。本课题以四维分段光滑ODE系统为研究对象，探讨奇异环（同宿轨或异宿环）和混沌的存在性问题。首先以具有单个不连续边界的四维分段仿射ODE系统为切入点，拟通过分析两个子系统稳定流形与不稳定流形的结合方式给出与不连续边界横截相交的奇异环存在的条件；在此研究基础上，在奇异环邻域内选择合适的截面构造系统的庞加莱映射，借助于符号动力系统和拓扑马蹄理论讨论庞加莱映射拓扑马蹄的存在性，拟给出混沌不变集存在性的判定定理。其次由Hartman-Grobman定理在所涉及的平衡点附近线性化，把上述研究思路推广到四维分段光滑ODE系统。除此之外，拟通过分析庞加莱映射的表达式讨论混沌不变集的相关分叉现象。本课题拟弄清混沌的一些产生机理给出系统混沌性的一些判定条件，为设计混沌系统提供一些数学方法。

沧海桑田，日新月异，世间万物都随时间而变化，其变化规律一般用动力系统来刻画。为了解现实系统和工程系统的未来变化趋势，需要对相应动力系统的动力学进行深入的研究。混沌现象作为一种复杂的动力学现象广泛存在于动力系统中，而且具有混沌现象的系统即混沌系统在加密运算，混沌控制等方面有重要的应用，因此对混沌现象以及混沌系统设计的研究是非常有必要的。. 本项目主要以四维分段仿射系统为研究对象，研究系统同宿轨和异宿环的存在性，并在此基础上通过构造系统的庞加莱映射，利用拓扑马蹄理论研究系统的混沌不变集存在性。除此之外，以上研究结果可以给出相应混沌系统的数学构造方法。在四维分段仿射系统的研究基础上，通过利用Hartman-Grobman定理在双曲平衡点附近线性化的思路可以把四维分段仿射系统同宿轨，异宿环以及混沌不变集存在性的研究方法推广到四维分段光滑系统。. 目前主要给出了四维分段仿射系统双焦点异宿环的存在性结果，即对于给定类型的异宿环，单个系统该类型异宿环存在的个数可能为0,1和不可数多个；在此基础上给出了混沌不变集存在性的相关结果。不同于Shil’nikov定理，即使存在不可数多个该类型的异宿环，也有可能不存在混沌不变集；在混沌不变集不存在的情形下，可以给出异宿环的轨道稳定性结果。以上问题的研究也给出了一种混沌系统的数学设计方法。