分段光滑振动系统的复杂分岔与混沌控制

In scientific research and practical engineering systems, the non-smooth phenomena caused by impacting, shock, dry friction, etc., are often encountered, which can be treated as the piecewise-smooth dynamical systems. Singularity and strong nonlinearity are the characteristics of piecewise-smooth systems. Therefore, the study of piecewise-smooth systems remains a considerable research challenge. Based on the hot-topics of domestic and foreign study, we focus on complex bifurcations and chaos control of the two kinds of piecewise-smooth dynamical systems, that is, the rigid vibro-impact systems and the vibration systems with dry friction. Our study includes (ⅰ) grazing co-dimension two bifurcations and chaos for multi-degree-of-freedom rigid vibro-impact systems with unilateral constraint. (ⅱ) grazing co-dimension two bifurcations for one or two- degree-of-freedom rigid vibro-impact systems with bilateral constraints by the methods of theoretical analysis and numerical simulation. (ⅲ) developing highly effective, accurate algorithm, and studying co-dimension two bifurcations and unfolding of co-dimension two bifurcation points for the vibration systems with dry friction. (ⅳ) for bifurcation and chaos control problem of piecewise-smooth vibration systems, developing more effective control methods.

在科学研究与工程实际系统中经常会遇到由碰撞、冲击、干摩擦等引起的非光滑现象,这些问题可以归属于分段光滑的动力系统来研究。分段光滑系统具有奇异性和强非线性等特点，因此对分段光滑系统的研究具有较大的挑战性。根据国内外研究的主要热点问题，我们重点研究两类分段光滑系统，即刚性碰撞振动系统和干摩擦系统的复杂分岔和混沌控制。具体内容有(ⅰ) 研究单侧约束多自由度刚性碰撞振动系统的擦边余维二分岔。(ⅱ) 利用理论分析与数值模拟的方法研究双侧约束单或双自由度刚性碰撞振动系统的擦边余维二分岔。(ⅲ)开发高效精确的算法，研究具有干摩擦的振动系统的余维二分岔的形式和余维二分岔点的开折情况。（ⅳ）研究分段光滑振动系统的分岔和混沌控制问题，开发效果更好的控制方法。

在对分段光滑振动系统的国内外研究现状和发展趋势作充分调研的基础上，对碰撞振动系统、具有干摩擦的振动系统的余维二分岔及混沌控制进行了深入研究，主要取得了以下若干成果：.1．通过理论分析的方法研究了一类两自由度碰撞振动系统周期运动的存在问题，得到系统单碰周期n运动不存在的充分条件。研究了一类具有对称约束n自由度碰撞振子的余维二擦边分岔，将传统的单侧约束系统不连续映射方法拓展到双侧约束系统的情形，获得余维二擦边分岔的存在性条件。将获得的理论结果应用于寻找两自由度和三自由度双侧约束碰撞振子的余维二擦边分岔点，并通过开折图与相图揭示了余维二擦边分岔点附近的复杂动力学行为。.2．基于相位特征，提出了一种对转子碰摩进行控制的脉冲控制方法。此外，根据延迟反馈控制和非线性反馈控制的特点，提出了一种延迟非线性反馈混合控制法用于控制分段不连续映射的混沌。理论分析与数值模拟证实这些控制方法都具有较好的控制效果。.3．研究一类具有摩擦的SD振子，通过分析切换流形的穿越域和滑动域，得到振子在传送带的粘滞条件。对系统在不同参数下的稳态动力学行为进行讨论，重点分析传送带速度和摩擦因数对系统行为的影响，研究表明系统存在滑动分岔等特有的现象。.