里奇孤立子的刚性研究

Ricci flow was first introduced by Hamilton in 1982. Under the influence of Hamilton and Perelman, Ricci flow has become an important tool to attack the open problems in Riemannian geometry, differential topology etc. As a generalization of Kaehler-Einstein metric and also an important singular model of Ricci flow, the classification of Ricci solitons is vital in the study of Ricci flow. This program plans to study the rigidity of Ricci solitons with positive curvature. Precisely, we will focus on the following contents. .1)the rigidity of noncollapsed steady Kaehler-Ricci solitons with positive curvature;.2)the rigidity of steady Kaehler-Ricci solitons with positive bisectional curvature;.3) the compactness of Ricci solitons with positively pinched Ricci curvature.

里奇流由Hamilton在 1982年引进。在Hamilton和Perelman等人的工作的影响下，里奇流已经发展为解决黎曼几何、微分拓扑等领域中问题的重要研究工具。里奇孤立子作为爱因斯坦度量的推广,同时作为里奇流的奇性分析中的重要模型，它的分类在里奇流的研究中起了至关重要的作用。本项目拟研究一般维数具有正曲率的里奇孤立子的刚性。具体而言，我们将着重研究以下几个内容:.1）高维具有正曲率算子的体积非塌缩稳态里奇孤立子的刚性研究；.2）具有正双全纯截面曲率的稳态凯勒里奇孤立子的刚性研究；.3）具有正拼脐里奇曲率的里奇孤立子的紧性研究。

1982年Hamilton引入里奇流研究几何问题。2002年至2003年，Perelman利用里奇流解决了具有百年历史的庞加莱猜想。在他们的影响下，里奇流已经成为研究几何与拓扑的重要工具。在里奇流的研究中，奇性分析起着至关重要的作用。里奇孤立子是奇性分析中最重要的模型，因此，里奇孤立子的分类成为了高维里奇流研究的重要问题。本项目主要研究以下三个问题：.1.高维具有正曲率算子的体积非塌缩稳态型里奇孤立子的刚性；.2.具有正双全纯截面曲率的稳态型凯勒里奇孤立子的刚性；.3.具有拼挤里奇曲率的里奇孤立子的紧致性。.在自然科学基金的资助下，该项目的研究进展顺利并且已经取得了超出预期的研究成果，主要有以下三部分：.1．在数量曲率线性衰减的条件下，证明了具有非负曲率算子的的体积非塌缩稳态型里奇孤立子必然旋转对称。.2．证明了具有非负双全纯截面曲率的稳态型凯勒里奇孤立子必然是平坦的。.3．分类了任意维数的紧致凯勒里奇流的k-解。..相关结果已经发表在Math. Ann., Sci. China Math. 和Proc. Amer. Math. Soc.等权威数学期刊上。